二元函数的邻域和去心邻域

马同学

二元函数的邻域和去心邻域

1 单变量函数的邻域和去心邻域

单变量函数的邻域和去心邻域如下图所示，其中用实心点表示包含 $x_0$ 点，用空心点表示不包含 $x_0$ 点。

邻域 $U(x_0,\delta)$ 或 $U(x_0)$

去心邻域 $\mathring{U}(x_0,\delta)$ 或 $\mathring{U}(x_0)$

2 二元函数的邻域和去心邻域

二元函数也有类似的概念，只是从左、右邻域变为了圆形邻域：

定义 .设 $P_0(x_0,y_0)$ 是 $xOy$ 面上的一点， $\delta$ 是某正数，与 $P_0$ 点距离小于 $\delta$ 的 $P(x,y)$ 的全体，称为 $P_0$ 点的邻域（Neighbourhood），记作 $U(P_0,\delta)$ ，若不关心 $\delta$ 也可简记作 $U(P_0)$ ，即：
$U(P_0,\delta)=U(P_0)=\{P\ |\ \|\overrightarrow{P_0P}\| < \delta\}=\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\ |\ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 < \delta^2\}$
从邻域 $U(P_0,\delta)$ 中去掉 $P_0$ 点就是去心邻域（Deleted neighbourhood） $\mathring{U}(P_0,\delta)$ ，若不关心 $\delta$ 也可简记作 $\mathring{U}(P_0)$ ，即：
$\mathring{U}(P_0,\delta)=\mathring{U}(P_0)=\{P\ |\ 0<\|\overrightarrow{P_0P}\| < \delta\}$