下面是二元函数连续以及间断的定义，这两个定义稍作修改就可推广到多元函数。
《马同学图解微积分·上》中提到过，可直观理解为，不提笔画出来的曲线就是连续的，如下图所示。
二元函数的连续可直观理解为，把上述曲线围成的空间用颜色填满就是连续的，如下图所示。
两者的定义也是大同小异的，正如一元函数在点连续的定义为，二元函数连续的定义为：
对于二元函数，
比如函数就是上的连续函数，如下图所示。
由常数、经过有限次的四则运算和复合得到的多元函数就是 多元初等函数 ，比如上一节提到的，再比如：
类似于《马同学图解微积分·上》中学习过的，多元初等函数在其上也都是的。
在上的多元连续函数，必定在上有界，且能取得它的最大值和最小值。
该定理类似于《马同学图解微积分·上》中学习过的，这里举例说明一下。比如下图中的就是在上的二元连续函数，可观察出其在上有界，且能取得它的最大值和最小值，这就是上述定理给出的结论。
在上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。
该定理类似于《马同学图解微积分·上》中学习过的，这里举例说明一下。比如下图中的就是在上的二元连续函数，可观察出对于介于最大值和最小值之间的值有，其中，这就是上述定理给出的结论。
设二元函数的定义域为，是的。如果函数在点不连续，则称为函数的 间断点 （Discontinuities）。
比如的函数，点是其定义域的。因为在点没定义，所以在点不连续。即使如下补上定义，但因为不存在，所以此时在点仍不连续。
再比如函数的定义域为，虽然圆周上的点都是的聚点，但该函数在圆周上没有定义，所以在上各点都不连续，所以圆周上各点都是的间断点，如下图所示，为了方便观察圆周上间断的效果，这里将圆周内、外的图像用不同颜色绘出。
