设某曲面的函数为，为了寻找该曲面在点的微分，出于简化计算的目的，一般会借助位于该曲面上，且

• 过点、平行于轴的空间曲线，如下图中的红色曲线
• 过点、平行于轴的空间曲线，如下图中的蓝色曲线

这两根曲线在点的，即下图中的黑色直线，显然是不重合的。在数学中，它们分别被称为曲面在点，及曲面在点，或笼统地称为曲面在点的 偏微分 （Partial differential）。

要求出上述两条曲线的微分，需要先引入一个定义：

下面来解释上述定义，这也是在展示偏微分的求解过程。容易理解，平面与曲面的交线，就是过点、平行于轴的空间曲线，如下图所示。根据，所以该空间曲线的方程为。

该空间曲线在平面上，所以可看作面上的平面曲线，如下图所示。从代数上讲，将代入就得到了该平面曲线的函数，这是一个单变量函数。

上面两图展示了从空间曲线到平面曲线，其中只是坐标系发生了变化，曲线本身没有变化，所以平面曲线在点的就是空间曲线在点的，也就是曲面在点对的偏微分，如下图所示。

该偏微分的斜率就是上述定义中提到的在点对的偏导数，结合上，所以：

同理可得在点对的偏导数为：

根据，平面曲线在点的为，这是在点建立的坐标系过原点的直线，如下图所示(还有不清楚的，可以查看《马同学图解微积分·上》中的的讲解)。

若在空间中的建立坐标系，如下图所示。

将变换到坐标系下，空间曲线在点的微分，也就是曲面点对的偏微分，这是在平面（即之前的平面）上的直线，如下图所示。

所以，空间曲线在点的微分，也就是曲面点对的偏微分为：

同理，空间曲线在点的微分，也就是曲面点对的偏微分为：