全微分

设函数在点的某邻域内有定义,假设:

如果函数在点

可以表示为:

其中不依赖于,且:

那么称在点,而称为在点处的(或称为),记作,即:

微分有两种等价定义方式,前者是同济大学《高等数学(第七版)》中的定义方式,后者是《托马斯微积分》中的定义方式:

后面在进行证明的时候会根据情况使用不同的形式。两者是容易互推的,下面尝试从后者推出前者,容易看出(

首先:

其中:

因为:

所以:

同理:

这样我们就很容易得到结论了:

):

根据,容易判断出这是随着而趋于0的,即:

根据,所以:

这个定义看着很复杂,其实说的就是平面来近似曲面这件事:

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