微分有两种等价定义方式，前者是同济大学《高等数学（第七版）》中的定义方式，后者是《托马斯微积分》中的定义方式：

后面在进行证明的时候会根据情况使用不同的形式。两者是容易互推的，下面尝试从后者推出前者，容易看出（

首先：

其中：

因为：

所以：

同理：

这样我们就很容易得到结论了：

根据，容易判断出这是随着即而趋于0的，即：

根据，所以：