引入梯度定义后，则可如下改写：

其中是梯度与的夹角，该式意味着是梯度在上的，如下图所示。

整理上面的式子可得，从而可以分析出，

• 时，即方向与梯度相同时，或者说沿着梯度方向时，取得最大值：

• 时，即方向与梯度相反时，或者说逆着梯度方向时，取得最小值：

• 时，即方向与梯度相反时，为：

综上可知，梯度是这么一个向量：

根据上面的分析，可进一步直观地来理解梯度。如下图所示，若将曲面想象成山峰，则

• 方向对应的切向量指向山顶，这是上升最快的方向
• 反方向对应的切向量指向山谷，这是下降最快的方向
• 和正交的方向是山间的平路，没有坡度上的起伏，见下图中的黑色虚线

借助上图还可以直观地、不作证明地得到一个结论，图中的是一个平面，根据我们的常识，在该平面上放置一个静止的球体，球体会沿着某个方向滚动，并且这个方向是固定的，也就是说下降最快的方向只有一个，就是方向；同样的上升最快的方向只能是方向，为的方向必然于上述两个方向，所以在时有：

同样的，如果函数在点，那么可定义一个：

该称为函数在点的梯度，记作，即：

引入（三维的）向量微分算子，也称为Nabla 算子，则上式也可记作：