不和自己相交的曲线称为 简单曲线 （Simple curve），头尾相接的曲线称为 闭曲线 （Closed curve）。这两个概念是可以组合的，如下面这些图像所示。
某平面区域，若其中任一简单闭曲线所围成的部分都属于，那么就称为 简单连通域 （Simply-connected region），或简称为 单连通域 ，如下图左侧所示。否则称为 复杂连通域 （Not simply-connected region），或简称为 复连通域 ，如下图右侧所示。直观来理解就是，单连通域不包含“洞”，而复连通域包含“洞”。
若存在一个数量函数，使得，则数量函数称为向量场的 势函数 （Potential function），而向量场称为 保守场 （Conservative vector field）。
比如重力势能函数和重力场，因为有，重力势能函数是重力场的势函数，该函数的名也体现了这一点；而重力场是一个保守场。
设平面区域为一个单连通域，向量场在上有定义，若与都在上具有一阶连续偏导数，且：
（1）证明“”。因为，所以存在数量函数使得，即：
由于与都在上具有一阶连续偏导数，根据，所以：
（2）证明“”，这很容易通过之后要学习的推出，届时再给出具体的证明。
关于保守场，下列说法正确的是：
保守场中，路径积分的值与路径的选择无关
保守场中，路径积分的值与路径的选择有关
保守场中不存在势函数
保守场的定义与单连通域无关
A选项正确，因为在保守场中，路径积分只与起点和终点有关，与路径的具体形状无关
B选项不正确，它与保守场的定义矛盾
C选项不正确，保守场的一个特征是存在势函数
D选项不正确，保守场的定义通常要求在单连通域内，以确保势函数的存在
