隐函数存在定理

1 隐函数存在定理 1
设函数点的某一内有,且:

则方程点的某一内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数,它满足条件,并有:

上述定理不做证明,下面通过举例来说明一下。让我们从该定理中的“方程”说起,

  • 可改写为,这是,其几何意义是某空间曲面和空间平面的交线,比如下图中的红色交线
  • 起到了将平面曲线转换到空间曲线的作用,比如下图中曲面和平面的交线是一个圆,这就将平面的圆转为了空间的圆,以便解决圆的隐函数的问题

而上述定理中的“”意味着点在红色的圆上,再结合上""(关于这一点的解释在本节最后),从而在点的某一就存在一个隐函数,如下图所示。

将该隐函数记作“函数”,显然有“”,该函数在面上,如下图所示。

所以在点的某一内有:

根据,对上式两侧求可得:

根据“点的某一内有”,可知在该的,这意味着在该的值变化不大;又上述定理中有“”,结合上的值变化不大,所以存在点的某一使得,从而可得出在该内有:

这里还需要解释下上述定理中的“”。按照下图所示选取点,作出曲面点对,可以看在该平面上,这意味着在该是恒定不变的,即在该的变化率为,所以此时有

根据上述定理中的条件可知,

  • 曲面点存在,之前解释过,该包含曲面上所有曲线的
  • 除了在平面上外,也在该
  • 平面上的曲线,也是曲面上的曲线,所以其必然在平面上,也在该

综上可分析出,也是红色圆在,如下图所示。容易理解,该平行于轴。

直观地理解,平行于轴的不是函数,所以被该所近似的圆在点附近的图像也不是函数,如下图所示。

所以在上述定理中给出了条件“”,这样才能保证“方程点的某一内恒能唯一确定一个函数”。

2 隐函数存在定理 2

可以将隐函数存在定理 1 推广到三元函数,也就是如下定理:

设函数点的某一内有,且:

则方程点的某一内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数,它满足条件,并有:

上述定理涉及到四维,无法进行图解了,这里试推一下其中的代数式。根据上述定理可知,在点的某一,有:

根据,对上式两侧分别求,可得:

根据“函数点的某一内有”,可知在该的,这意味着在该的值变化不大;又上述定理中有“”,结合上的值变化不大,所以存在点的某一使得,从而可得出在该内有:

3 隐函数存在定理 3
点的某一内有,又:

点不等于,则方程组点的某一内恒能唯一确定一组连续且具有连续导数的函数,它们满足条件,并有:

上述定理不做证明,这里试推下其中的,关于可自行举一反三。根据上述定理可知,在点的某一,有:

根据,结合上,对上述方程组两侧分别求,可得: