设函数在点的某一内有的,且:
则方程在点的某一内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数,它满足条件,并有:
上述定理不做证明,下面通过举例来说明一下。让我们从该定理中的“方程”说起,
而上述定理中的“”意味着点在红色的圆上,再结合上""(关于这一点的解释在本节最后),从而在点的某一就存在一个隐函数,如下图所示。
将该隐函数记作“函数”,显然有“”,该函数在面上,如下图所示。
所以在点的某一内有:
根据,对上式两侧求的可得:
根据“在点的某一内有的”,可知在该内是的,这意味着在该内的值变化不大;又上述定理中有“”,结合上的值变化不大,所以存在点的某一使得,从而可得出在该内有:
这里还需要解释下上述定理中的“”。按照下图所示选取点,作出曲面在点对的,可以看在该在平面上,这意味着在该上是恒定不变的,即在该上的变化率为,所以此时有。
根据上述定理中的条件可知,
综上可分析出,在的也是红色圆在的,如下图所示。容易理解,该平行于轴。
直观地理解,平行于轴的不是函数,所以被该所近似的圆在点附近的图像也不是函数,如下图所示。
所以在上述定理中给出了条件“”,这样才能保证“方程在点的某一内恒能唯一确定一个函数”。
可以将隐函数存在定理 1 推广到三元函数,也就是如下定理:
设函数在点的某一内有的,且:
则方程在点的某一内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数,它满足条件,并有:
上述定理涉及到四维,无法进行图解了,这里试推一下其中的代数式。根据上述定理可知,在点的某一,有:
根据,对上式两侧分别求、的,可得:
根据“函数在点的某一内有的”,可知在该内是的,这意味着在该内的值变化不大;又上述定理中有“”,结合上的值变化不大,所以存在点的某一使得,从而可得出在该内有:
设,在点的某一内有的,又:
且:
在点不等于,则方程组在点的某一内恒能唯一确定一组连续且具有连续导数的函数及,它们满足条件及,并有:
上述定理不做证明,这里试推下其中的和,关于的可自行举一反三。根据上述定理可知,在点的某一,有:
根据,结合上,对上述方程组两侧分别求的,可得: