（1）思路分析。绘制出球面与平面的交线，即下图中的红色曲线，可见该交线是空间中的圆。本题要求的是函数在交线上的，因为交线是封闭的圆，为了强调这一点，常在积分符号上加圈，即将该式写作。

套用即可求出，但求出交线的参数方程是一个难点。

        （2）交线的参数方程形如，可以通过交线在面上的投影先求出其中的和。具体做法是，写出交线的，如下消去其中的就可以得到交线在面上的投影的方程，可以看出这是一个椭圆：

或运用空间想象能力，从上空俯瞰，如下图所示，可知交线在面上的投影是一个椭圆，也就是上述求出的椭圆。

上述椭圆，可以看作由半长轴为、半短轴为的标准椭圆，如下图左侧所示，逆时针旋转后得到的，如下图右侧所示。

下面就需要求出、、这三个未知的参数，从而得到椭圆的参数方程。

先从半长轴开始。展开空间想象能力可知椭圆的长轴在平面与面（即平面）的交线上，如下图所示，容易求出该交线的方程为，或者说是该交线对应的函数为。

联立椭圆和直线，可以求出两者的交点为以及，如下图所示，从而可得半长轴。并且容易知道直线与轴正向的夹角为，这也就是之前提到过的逆时针旋转的角度，即有。

椭圆的长轴和短轴是垂直的，因此椭圆的短轴在直线上，如下图所示，可求出两者的交点为和，从而可得半短轴。

综上求出了：

所以半长轴为、半短轴为的标准椭圆的参数方程如下，并可以将之转为：

再借助，将上述标准椭圆逆时针旋转，就得到了椭圆的（关于椭圆的旋转，更详细的过程可以参看）：

从而得到椭圆的参数方程：

因为椭圆是交线在面上的投影，其参数方程中的和也就是交线参数方程中的和，即才是可知交线参数方程为：

        （3）求出交线的参数方程。因为交线在平面上，结合上该参数方程中的已知的和，可推出，从而得到交线的参数方程为：

        （4）求出。根据，可得：

代入交线的参数方程后可得出，所以上式可以改写为：