海森矩阵确定极值

设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,则其二阶导数,即海森矩阵为:

如果又有:

那么:

(1)为极大值,当

(2)为极小值,当

(3)非极值点,当

(4)无法判断是否为极值点,当

因函数具有二阶连续偏导数,根据可知

则海森矩阵为实对称矩阵,根据

  • 矩阵为正定二次型,此时函数图像是凹的,为极小值
  • 矩阵为负定二次型,此时函数图像是凸的,为极大值

正定时,函数是凹的,

负定时,函数是凸的,

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马同学高等数学
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