二重积分的性质

马同学

二重积分的性质

1 齐次性与可加性

定理 .设 $\alpha$ 、 $\beta$ 为常数，则有：
齐次性： $\iint_\limits{D}\alpha f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\alpha\iint_\limits{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$
可加性： $\iint_\limits{D}\Big(f(x,y)\pm g(x,y)\Big)\mathrm{d}\sigma=\iint_\limits{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma\pm\iint_\limits{D}g(x,y)\mathrm{d}\sigma$
以及通过两个性质可得：
$\iint_\limits{D}\Big(\alpha f(x,y)\pm\beta g(x,y)\Big)\mathrm{d}\sigma=\alpha\iint_\limits{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma\pm\beta\iint_\limits{D}g(x,y)\mathrm{d}\sigma$

下面举例说明下上述定理，首先是齐次性。下图中左侧的函数 $\alpha f(x,y)$ 是右侧函数 $f(x,y)$ 的 $\alpha$ 倍，根据上述定理中的齐次性可知，同样以闭区域 $D$ 为底的情况下，左侧曲顶柱体的体积是右侧曲顶柱体的体积的 $\alpha$ 倍。

函数 $\alpha f(x,y)$ 及对应的曲顶柱体

函数 $f(x,y)$ 及对应的曲顶柱体

再来说说可加性。已知在闭区域 $D$ 上的两个函数 $f(x,y)$ 及 $g(x,y)$ ，如下图所示。

函数 $f(x,y)$ 及对应的曲顶柱体

函数 $g(x,y)$ 及对应的曲顶柱体

那么根据二重积分的可加性，同样以闭区域 $D$ 为底的情况下，函数 $f(x,y)+g(x,y)$ 的曲顶柱体的体积，如下图所示，就是上面两个曲顶柱体的体积之和。

$\iint_\limits{D}\Big(f(x,y)+g(x,y)\Big)\mathrm{d}\sigma=\iint_\limits{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma+\iint_\limits{D}g(x,y)\mathrm{d}\sigma$

2 平顶柱体的体积

定理 .如果在闭区域 $D$ 上 $f(x,y)=1$ ， $\sigma$ 为 $D$ 的面积，那么：
$\sigma=\iint_\limits{D}1\cdot\mathrm{d}\sigma=\iint_\limits{D}\mathrm{d}\sigma$

上述定理说明了，

如下图所示的以闭区域 $D$ 为底、高为 $1$ 的平顶柱体，其体积在数值上等于该柱体的底面积
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闭区域 $D$ 的面积 $\sigma$ 也是通过二重积分定义的，即 $\sigma=\iint_\limits{D}\mathrm{d}\sigma$

设 $h$ 为某正实数，结合二重积分的齐次性以及上面的定理，可得：

$\iint_\limits{D}h\cdot\mathrm{d}\sigma=h\iint_\limits{D}\mathrm{d}\sigma=h\sigma$

上式的几何意义是，对于闭区域 $D$ 为底、高为 $h$ 的平顶柱体而言，有：

$\text{平顶柱体的体积}=\text{底面积}\times\text{高}$

3 区域可加性

定理（区域可加性）.如果闭区域 $D$ 被有限条曲线分为有限个部分闭区域，那么 $D$ 上的二重积分等于各部分闭区域上的二重积分的和。

举例说明下上述定理，下图左侧所示的是闭区域 $D$ 以及其上的函数 $f(x,y)$ ，而下图右侧将闭区域 $D$ 分为两个闭区域 $D_1$ 、 $D_2$ 。

闭区域 $D$

闭区域 $D_1$ 、 $D_2$

根据上述定理，那么有：

$\iint_\limits{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\iint_\limits{D_1}f(x,y)\mathrm{d}\sigma+\iint_\limits{D_2}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$

在区域 $D$ 上，有 $f(x,y)\leq g(x,y)$ ,则有：

$\iint_\limits{D}f(x,y)d\sigma\leq \iint_\limits{D}g(x,y)d\sigma$

若满足 $m\leq f(x,y)\leq M$ ,则有：

$m\sigma \leq \iint_\limits{D}f(x,y)d\sigma\leq M\sigma$

4 二重积分的不等式

定理（二重积分的不等式）.如果在闭区域 $D$ 上始终满足 $f(x,y) \le g(x,y)$ ，那么有：
$\iint_\limits{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma \le \iint_\limits{D}g(x,y)\mathrm{d}\sigma$
特殊的，由于有 $-|f(x,y)|\le f(x,y)\le |f(x,y)|$ ，所以有：
$-\iint_\limits{D}|f(x,y)|\mathrm{d}\sigma\le \iint_\limits{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma\le \iint_\limits{D}|f(x,y)|\mathrm{d}\sigma\implies\left|\iint_\limits{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma\right| \le \iint_\limits{D}|f(x,y)|\mathrm{d}\sigma$

举例说明下上述定理，如下图所示，闭区域 $D$ 上始终有 $f(x,y) \le g(x,y)$ ，从而同样以闭区域 $D$ 为底的情况下，左侧曲顶柱体的体积小于右侧曲顶柱体的体积。

函数 $f(x,y)$ 及对应的曲顶柱体

函数 $g(x,y)$ 及对应的曲顶柱体

上述几何意义可用不等式表示如下，这就是上述定理所阐述的内容：

$\iint_\limits{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma \le \iint_\limits{D}g(x,y)\mathrm{d}\sigma$

5 二重积分估值的不等式

定理（二重积分估值的不等式）.设 $m$ 和 $M$ 是 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上的最小值和最大值， $\sigma$ 是闭区域 $D$ 的面积，则有：
$m\sigma \le \iint_\limits{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma\le M\sigma$

证明 .因为在闭区域 $D$ 上有 $m\le f(x,y)\le M$ ，根据二重积分的不等式，结合上二重积分的齐次性以及平顶柱体的体积公式，可得：
$\begin{aligned} \iint_\limits{D}m\mathrm{d}\sigma \le \iint_\limits{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma\le \iint_\limits{D}M\mathrm{d}\sigma &\implies m\iint_\limits{D}\mathrm{d}\sigma \le \iint_\limits{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma\le M\iint_\limits{D}\mathrm{d}\sigma\\ &\implies m\sigma \le \iint_\limits{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma\le M\sigma \end{aligned}$

举例说明下上述定理，如下图所示，其中标出了函数 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上的最小值 $m$ 和最大值 $M$ 。

函数 $f(x,y)$ 及其在 $D$ 上的最值、曲顶柱体

根据上述定理，同样以闭区域 $D$ 为底的情况下，函数 $f(x,y)$ 对应的曲顶柱体（上图中的曲顶柱体）的体积，大于等于下图左侧中高为 $m$ 的平顶柱体的体积，小于等于下图右侧中高为 $M$ 的平顶柱体的体积。

底为 $D$ 、高为 $m$ 的平顶柱体

底为 $D$ 、高为 $M$ 的平顶柱体

6 二重积分的中值定理

定理（二重积分的中值定理）.设函数 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续， $\sigma$ 是 $D$ 的面积，则在 $D$ 上至少存在一点 $(\xi,\eta)$ ，使得：
$\iint_\limits{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=f(\xi,\eta)\sigma$

证明 .根据多元连续函数的最大值最小值定理， $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上的存在最小值 $m$ 和最大值 $M$ 。又根据二重积分估值的不等式，所以有：
$m\sigma\le \iint_\limits{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma \le M\sigma$
显然 $\sigma > 0$ ，所以把上述不等式各除以 $\sigma$ ，有：
$m\le \frac{1}{\sigma}\iint_\limits{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma \le M$
上述不等式说明 $\displaystyle\frac{1}{\sigma}\iint_\limits{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ 是介于最小值 $m$ 和最大值 $M$ 之间的值，根据多元连续函数的介值定理，所以在 $D$ 上至少存在一点 $(\xi,\eta)$ ，使得：
$\frac{1}{\sigma}\iint_\limits{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=f(\xi,\eta)\implies \iint_\limits{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=f(\xi,\eta)\sigma$

举例说明下上述定理，因为函数 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，所以函数 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上的存在最小值 $m$ 和最大值 $M$ ，如下图所示。

函数 $f(x,y)$ 及其在 $D$ 上的最值、曲顶柱体

根据二重积分估值的不等式可知，同样以闭区域 $D$ 为底的情况下，有：

$\text{高为}\ m\ \text{的平顶柱体的体积}\ \le\ \text{函数}\ f(x,y)\ \text{对应的曲顶柱体的体积}\ \le\ \text{高为}\ M\ \text{的平顶柱体的体积}$

上述结论用代数式表示即为：

$m\sigma\le\iint_\limits{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma\le M\sigma$

所以在 $m$ 和 $M$ 之间存在一个 $\mu$ ，如下图左侧所示。作以闭区域 $D$ 为底、高为 $\mu$ 的平顶柱体，如下图右侧所示，其体积和函数 $f(x,y)$ 对应的曲顶柱体的体积相等，也就是有 $\mu\sigma=\iint_\limits{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ 。