连续与可导

1 可导必连续
如果函数点可导,则可推出该函数点连续。

上述定理简单来说就是:“可导则连续”,我们可以通过图形来理解一下:

  • 若函数点可导,说明可找到某直线来近似点附近的曲线,也就是说点存在切线,如下图左侧所示。因为切线是连续的,则被近似的曲线自然也是连续的
  • 若函数点不连续,如下图右侧所示,那么找不到某直线来近似函数点及其附近的图像,即点不存在切线,所以点不可导

点可导则连续

点不连续则不可导

上述定理反过来是不成立的,即不能说连续就一定可导。以下图为例,这是上一节提到过的函数。显然该函数在点连续,但由于左导数、右导数并不相等,所以该函数在点不可导。

直线的斜率并不相等,即,此时函数点连续但不可导

请分析下列函数在点的连续性与可导性。

(1);  (2);  (3)

(1)研究。根据初等函数的连续性可知点左连续且右连续,见下面的计算。所以根据连续的充要条件可知,点连续。

又可以算出,见下面的计算。所以根据可导的充要条件可知,点不可导。

该函数的图像如下所示,容易观察出该曲线在点连续。但该曲线在点存在尖点,这种图像往往就意味着不可导。

函数的图像

        (2)研究。根据初等函数的连续性可知点左连续且右连续,见下面的计算。所以根据连续的充要条件可知,点连续。

又可以算出,见下面的计算。所以根据可导的充要条件可知,点不可导。

该函数的图像如下,可以看到其在处也是尖点。

函数的图像

        (3)研究。根据有界函数与无穷小的乘积是无穷小可算出:

所以点可导,根据连续与可导的关系,所以处连续。该函数的图像如下图所示。

函数的图像

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