三重积分的富比尼定理

1 类型 I 区域上的富比尼定理
函数在空间有界上连续,若表示为:

那么有:

上述定理不做证明,这里借助下面的例子直观地说明一下。首先,该定理中的“函数在空间有界上连续”,这是存在的充分条件,类似于《马同学图解微积分·上》中学习过,也类似于。在该条件下,只需要对某一种划分、取点方式进行计算即可。

然后,该定理中的是一个柱体,如下图所示,其底部为曲面,其顶部为曲面,其在面上的投影为平面。这样的也常称为 类型 I 区域 (Type I Region)。

为类型 I 区域

根据上一节的介绍,可看作求空间的质量,其中的密度函数。按照微积分一贯的思想,可以划分后再求解,

        (1)先求出小线段的质量。比如在空间上任选一点,作出点对应的内的小线段,如下图所示。

观察小线段中长为的部分,其中心点的坐标为,如下图所示。

因为密度函数是连续的,又长为的线段足够短,所以可认为长为的线段的密度就是,所以其质量约等于,从而可通过积分算出小线段的质量,即:

        (2)再求出小柱体的质量。作出点附近的平面小区域及其对应的内的空间小区域,如下图所示。

可以用上、下底为、高为的小柱体来近似,如下图所示。

可认为该小柱体中的每条线的质量都约为的质量,所以上述小柱体的质量约为,所以空间小区域的质量可以近似如下:

        (3)算出。对进行划分,照(2)中的方法可得无数的空间小区域,将这些空间小区域的质量累加起来就得到了的质量,所以有:

上式最里面对积分的这部分,是将看做定值,将看作的函数,其积分的结果是的函数,即:

型区域,即:

此时可根据来计算上的,这样就将化为先对、次对、最后对 三次积分 (Integrate the function three times):

型区域,或还需要划分、换元等,可以酌情处理,最后化为三次积分来完成计算。

2 类型 II 区域和类型 III 区域

除了上述类型 I 区域外,还有

  • 类型 II 区域 (Type II Region),即,这是一个柱体,其底部为曲面,其顶部为曲面,其在面上的投影为平面,如下图左侧所示
  • 类型 III 区域 (Type III Region),即,这是一个柱体,其底部为曲面,其顶部为曲面,其在面上的投影为平面,如下图右侧所示

为类型 II 区域

为类型 III 区域

类型 II 、类型 III 区域的计算和类型 I 区域类似,可自行举一反三,下面来看例题。

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