上述定理不进行严格证明，还是通过举例来说明。

先解释一下思路，已知曲面对应的函数为，为曲面在面上的投影区域，如下图所示。

将区域划分为个小矩形，观察第个小矩形及其对应的小曲面，如下图所示。

可用对应的、切点位于点的小切平面来近似，如下图所示。

按照相同的方法，将区域划分得越来越细，对应的小切平面也越来越多且越来越小，如下图所示。此时这些小切平面可很好地近似曲面，从而这些小切平面的面积也可很好地近似曲面的面积，这就是接下来的求解思路。

下面来求出小切平面的面积。小矩形可看作由及围成，小切平面可看作由及围成，如下图所示。

记小矩形的边长为和，则围成小矩形的两个向量可表示为：

围成小切平面的两个向量实际上就是的（对这里不清楚的，可以参考这一课中的分析），所以有：

所以的面积可通过求出，即，其中（为了计算方便，这里将、简记为、，不会影响之后的结果）：

注意到以及，所以：

计算出小切平面面积后，将区域划分后对应的小切平面通过积分累加起来，就得到了曲面在上的面积为：