等比级数

马同学

（值得注意的是，这里的下标是从开始的，主要是为了书写的方便、简洁）：

叫做等比级数，又称为几何级数（Geometric series），其中，叫做级数的公比（Common ratio）。试讨论该级数的敛散性。

（1）当时，，从而，所以

。

（2）当时，，从而有，因此，因此。

（3）当时，首先计算出：

从而可得：

因为当时有，所以此时有：

而当时有，所以此时，从而。

（4）综上，所以有：

这里再举例说明下上述例题中提到的等比级数。将底为、高为的矩形不断对半划分，可以得到很多小矩形，如下图所示，其中还标出了每个小矩形的面积。

将底为、高为的矩形不断对半划分，得到很多小矩形

显然该面积为的矩形可表示为这些小矩形之和，也就是可写作如下、的等比级数：

因为等比级数常常会在几何问题中出现，所以也称为几何级数。下面我们再看一个例子：

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