对弧长的曲线积分

1 对弧长的曲线积分的定义

有直线积分自然有曲线积分,下面就是其定义:

面内的一条,函数上有界。在上任意插入一点列,把分成个小段。设第个小段的长度为。又为第个小段上任意取定的一点,作乘积),并作和,如果当各小弧段的长度的最大值时,这和的极限总是存在,且与曲线的分法及点的取法无关,那么称此极限为函数在曲线 对弧长的曲线积分 (Line integral of f along L with respect to arc length)或 第一类曲线积分 (First form line integral),记作:

其中叫做 被积函数 叫做 积分弧段

通过举例来说明一下上述定义,如下图所示,面内的位于点和点之间的一条,曲线上某点对应的函数值为

在曲线上任意插入一点列,把分成个小段,每小段依次记作,如下图所示,设每小段的长度依次为

观察第个小段以及其上一点,该点对应的函数值,如下图所示,据此可作乘积

将这个小段对应的乘积累加起来的结果是,当曲线被划分的越来越细时,也就是时就得到了如下积分。因为该积分是沿着曲线进行的,又其中的是弧长,所以该积分就称为在曲线上对弧长的曲线积分。

的意义不同其对弧长的曲线积分的意义也不同,这在后面例题中会有所体现。

2 对弧长的曲线积分的性质
由对弧长的曲线积分的定义可知,它有以下性质:
  • 齐次性与可加性:设为常数,则:

  • 积分区间的拆分:设积分弧段可分为两段光滑曲线弧,则:

  • 对弧长的曲线积分的不等式:设在上有,则:

    特别地,有:

都有类似的性质,可以参考,并且这些性质也比较符合直觉,就不再一一证明和额外解释了。

3 对弧长的曲线积分的计算法
在曲线弧上有定义且的参数方程为:

上具有一阶连续导数,且,则曲线积分存在,且:

假定当参数变至时,上的点依点至点的方向描出曲线弧。在上取一列点:

它们对应于一列的参数值:

依据,有:

这里第个小段两侧端点分别为点和点,对应的参数值分别为,根据,所以可如下计算其长度

,根据,所以存在使得:

点对应于参数值,即,这里,所以:

由于函数在区间上连续,所以可以把上式的换成,从而:

上式等号的右侧就是函数在区间上的,因为该函数在区间上连续,所以该定积分是存在的,因此:

如果曲线弧是由函数给出的,可将之视为特殊的参数方程,然后套用上述定理即可:

上述定理还可推广到空间曲线对应参数方程的情况,即:

以上的结论可用表格总结如下,其中最关键的是将替换为了对应的