在区域上是 与路径无关 的，当且仅当对于区域上的任意，有：
特别的，为强调是，常在积分符号上加圈，即将上式写作。
上述定义简单来说就是：
先来理解其中的“”。如下图所示，其中的、代表了从点到点的任意光滑有向曲线弧。之前解释过如果有，那么就说是 与路径无关 的。
将掉转方向就得到其，如下图所示，此时和构成了。
根据和这两个性质，以及，可得出：
再来理解其中的“”，其实就是刚才的过程反过来，假设有，可以在上任意取两个点作为点和点，将分为两条光滑曲线弧和，那么可得：
只要取的，根据上式就可以推出，也就是推出了是 与路径无关 的。
设是且是，是内的一个，若与都在内，则：
（1）证明“”。因为是，即存在一个数量函数使得，结合上定理中给出的条件，根据，可推出在内与路径无关。 （2）证明“”。设点为内的固定点，而点是内的任意一点，构造如下，该类似于《马同学图解微积分·上》中介绍过的：
因为是，所以点的某必然在内，在该邻域内选取点，其中，如下图所示。下图中还作出了从点到点的一条有向光滑曲线弧，以及从点到点的有向直线。
因为与路径无关，所以：
对上式求关于的，注意其中的是常数：
因为，所以：
因为点到点没有发生变化，所以，从而：
同理可得，因此有：
