所以有：

上面一系列不等式的左右两边构成两个数列：

其中就是公比的，该级数是收敛的。因为，根据，所以也收敛。而和相比只是相差有限项，根据，所以也收敛。

        （2）当时，取一个适当小的正数，使得，因为，根据，所以，，有：

所以当时，是逐渐增大的，从而。根据，所以是发散的。

类似的，也可以证明当时，级数是发散的。

        （3）当时，比如级数有：

根据上一节的学习可知，级数在时收敛，在时发散，所以此时不能确定敛散性。