正项级数的根值审敛法

马同学

设是，并假定有：

那么：

（1）若，则该级数收敛；

（2）若或，则该级数发散；

（3）若，则该级数可能收敛也可能发散；

这称为根值审敛法（Root test），或者叫柯西判别法（Cauchy root test）。

（1）当时，取一个适当小的正数，使得，因为，根据，所以，，有：

因为是，其公比，所以该级数收敛。结合上，所以收敛。

（2）当时，取一个适当小的正数，使得，因为，根据，所以，，有：

从而。根据，所以是发散的。

类似的，也可以证明当时，级数是发散的。

（3）当时，比如级数有：

根据之前的学习可知，级数在时收敛，在时发散，所以此时不能确定敛散性。

我们知道的是，当时，可以理解为将其中的公比提取出来，所以上述定理和的敛散性也很类似，可以联系起来看：

练习题

判断下列级数是否收敛：

收敛

发散

让我们先求出：

结合上：

所以有：

根据本节学习的根值审敛法，所以该级数收敛。

关注马同学

微信公众号：matongxue314

马同学机器学习

马同学图解数学

关注马同学

微信公众号：matongxue314