先看看左边，左边就是通量，它可以通过曲线积分来计算：

而右边的散度可以写作偏导的形式（具有一阶连续偏导数，保证了散度是连续函数）：

那么有：

右边实际上就是二重积分了，所以：

以上并非严格证明，严格证明过于复杂，这里就省略了。

这里需要额外说明的一点是，在浴缸问题中，现实中的水龙头和出水口这两个地方，流量场是会发生突变的，不满足一阶偏导连续，不过不妨碍此处的大致意思。希望大家有所了解。

先看看左边，左边就是环量，它可以通过曲线积分来计算：

而右边的旋度可以写作偏导的形式（具有一阶连续偏导数，保证了旋度是连续函数）：

那么有：

右边实际上就是二重积分了，所以：

以上并非严格证明，严格证明过于复杂，这里就省略了。同济大学《高等数学（第七版）》中的格林公式给的就是环量形式。