设的由分段光滑的曲线构成，若函数及在上具有一阶连续偏导数，则有：
其中为的取正向的曲线。
（1）先考虑既是型区域也是型区域的情况。比如某，令，即对应上图左侧，结合上可得：
另一方面，按照上图左侧的标注来计算在的正向边界上，结合上，可得：
综合上面两式可得：
又令，即对应上图右侧，结合上可得：
另一方面，按照上图右侧的标注来计算在的正向边界上，结合上，可得：
综合上面两式可得：
最终可得：
（2）再考虑一般的，此时总能被划分为有限个，每个都满足（1）中的要求。比如下图左侧中的，就可以划分为下图右侧中的、、，划分后的每一部分都既是型区域也是型区域，这里还标出了边界的正向及之后会用到的点。
按照上图右侧的标注，根据（1）中的结论，可得：
上述三个等式的红色部分沿着直线来回积分，所以将这三个等式相加时红色部分会相互抵消，从而：
上述定理就是 格林公式 （Green's theorem），该公式说的是，对于定义在上的函数，如下图所示，其中为的取正向的边界曲线。
那么上的可通过边界上的来计算：
也总能被划分为有限个。比如下图左侧中的，其外边界记作，内边界记作。在下图右侧中，我们将划分为、，这里还标出了边界的正向及之后会用到的点。
按照上图右侧的标注，根据格林公式，可得：