这里再举例说明下上述例题中提到的调和级数。该级数名字源于泛音列（泛音列与调和级数英文同为 harmonic series），所以先解释一下什么是泛音列。把下面想作一根琴弦，当它震动的时候就会发出声音，如下图所示。

如果琴弦的震动频率大约为的话，那么发出的声音差不多就是低音“哆”。而频率是的、、倍的，或者说波长为、、、的声音，就称为低音“哆”的泛音列。下图中第一个代表震动的琴弦，之下就是它的泛音列。

将泛音列排在一起，它们的波长就是一个调和级数，如下图所示。钢琴、吉他、小提琴都可以发出低音“哆”，但是音色听上去不同的原因，就是除了的基调之外，混合了不同比例的泛音。

上面的例题中证明了调和级数是发散的，实际上该级数发散的非常慢。在下面动图中展示了该级数的计算结果，其中每0.1秒会增加，同学们可以观察一下该级数什么时候会累加到13？直接告诉结果吧，大概7个小时后会累加到13。累加到60（没错，就是60这个区区小数），基本上需要花几十亿年的时间。你盯着屏幕一年、两年，一直盯到你怀疑人生，整数位都一直没有变化，你想或许它收敛了吧，可是它终究在顽强地变大。

所以古人一度认为调和级数是收敛的，直到 14 世纪的尼科尔·奥雷姆才证明了该级数是发散的，其给出的证明方式大致如下：

当然上述证明不太严谨，比如没有说明在无穷个数相加中加括号的正确性，也没有说明在无穷个数相加时进行缩放的正确性等等。