设曲面是光滑的有向曲面，向量函数的各个分量函数在上有界。把任意分成个小曲面，其中第个小曲面记作（同时也代表第个小曲面的面积）。设是上任意取定的一点，为曲面在点处的单位法向量，作乘积，并作和：
如果当各小曲面的直径的最大值时，这和的极限总是存在，且与曲面的分法及点的取法无关，就称这此极限为向量函数在有向曲面上的积分，也称为 第二类曲面积分 （First form surface integral）：
也可令，则上述积分可以改写如下：
举例说明一下上述定义，已知某光滑的有向曲面位于某向量场中，也就是说该曲面上的每个点都是可定向的，且该曲面上的点对应向量函数，如下图所示。
把任意分成个小曲面，观察其中第个小曲面，这也是可定向的有向小曲面，如下图所示。
在有向小曲面上任取一点，曲面在点有单位法向量，以及对应的向量，如下图所示，据此可作乘积。
将这个小曲面对应的乘积累加起来的结果是，当曲面被划分的越来越细时，也就是时，若该黎曼和的极限存在就得到了如下积分：
在上述定义中其实已经说清楚了和第二类曲面积分的关系了，即：
上式左侧可以解读为在曲面上的积分，而右侧可以解读为在有向曲面上的积分，即：
根据上述的和第二类曲面积分的关系，如果要计算，转为后再计算即可。
由有向曲面的积分的定义可知，它有以下性质：
-
-
积分区间的拆分：若有向曲面
可分为两段有向曲线弧
和
，则：
-
这里举例解释一下上述定理中的 反向曲面 ，比如下图左侧中的是有向曲面，那么下图右侧就是的反向曲面，也就是选择了相反的法向量进行定向。
设曲面是光滑的有向曲面，函数在上有界。把任意分成个小曲面，其中第个小曲面记作（同时也代表第个小曲面的面积），在面上的投影为，是上任意取定的一点，作乘积，并作和：
如果当各小曲面的直径的最大值时，这和的极限总是存在，且与曲面的分法及点的取法无关，就称这此极限为函数在有向曲面上（Surface integral of R over the oriented surface Σ with respect to x,y）：
类似地可以定义函数在有向曲面上，以及函数在有向曲面上：
其中、和称为 被积函数 ，称为 积分曲面 。以上三个曲面积分也称为 第二类曲面积分 （Second form surface integral）。
上述定义看起来和之前给出的有向曲面的积分的定义天差地别，实际上两者是完全等价的，这里通过举例来说明一下。
5.1 、以及的定义
先解释一下上述定义中提到的的投影，这是之前没有出现过的概念。把曲面任意分成个小曲面，观察第个有向小曲面及其在面的投影，如下图所示。
对及定向，因为投影为面上的平面，所以定其方向为，如下图所示，
设上各点处的方向向量为，若与的点积都有着相同的符号(对于光滑有向曲面而言，划分的足够小时总能做到这一点)，则规定为：
类似于，还可以规定以及，这里通过列表总结如下，
讲清楚了