下面来证明该定理。假设，那么有：

所以：

上面是等式的右边，而等式的左边可以写作：

所以只要证明下面三个等式成立就可以得到结论：

下面只证明一种很简单的情况，假设是类型区域：

写成代数式就是：

其中是在平面上的投影，在区域上的三重积分可以如下计算：

从上图中可以看出，的边界是由几个光滑曲面构成的：

其中是垂直于平面的，所以单位法向量是和垂直的，因此：

所以：

是，它的法向量朝上，因此根据第二类曲面积分的计算法有：

是，它的法向量朝下，因此根据第二类曲面积分的计算法，和刚才相比要取一个负号：

所以：

即证得等式(3)：

如果区域还可以看作类型、类型区域，那么等式(1)、(2)同理可得，所以：

上面对区域作了很多限制。如果是更一般的区域，实际上可以将区域进行划分，划分成很多小的符合刚才限制的区域，最后将结果加起来也会得到上述结论。