下面来证明比较特殊的一种情况，假设函数曲面为，其中具有二阶连续偏导数。函数曲面的边界为有向曲线，函数曲面的正方向和有向曲线的方向符合右手法则。函数曲面在上的投影是简单闭区域，它的边界和函数曲面的边界相对应：

假设，那么旋度为：

根据第二类曲面积分的计算方法可得：

假设曲线为参数方程：

那么对应的曲线为：

根据第二类曲线积分的参数计算方法可得：

上面最后一步是运用了格林公式。记住、、是、、的函数，又有，所以上面的式子需要计算下去，就要考虑复合函数的求导：

因为二阶偏导连续，所以混合偏导相等，上面的式子整理后，最终可得：