定理的条件看起来有点复杂,解释一下。拿刚才闭曲线来举例子,用箭头标出闭曲线的运动方向,这样闭曲线就可以表示为有向光滑闭曲线。该有向光滑闭曲线是有向光滑曲面(或者由几个有向光滑曲面组成)的边界,两者方向要符合右手法则,所以的正向如下图所示:下面来证明比较特殊的一种情况,假设函数曲面为,其中具有二阶连续偏导数。函数曲面的边界为有向曲线,函数曲面的正方向和有向曲线的方向符合右手法则。函数曲面在上的投影是简单闭区域,它的边界和函数曲面的边界相对应:
假设,那么旋度为:
根据第二类曲面积分的计算方法可得:
假设曲线为参数方程:
那么对应的曲线为:
根据第二类曲线积分的参数计算方法可得:
上面最后一步是运用了格林公式。记住、、是、、的函数,又有,所以上面的式子需要计算下去,就要考虑复合函数的求导:
因为二阶偏导连续,所以混合偏导相等,上面的式子整理后,最终可得: