斯托克斯公式

为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为边界的分片光滑的有向曲面,的正向与的正向符合右手规则,若函数在曲面(连同边界)上具有一阶连续偏导数,则有:

上述公式称为 斯托克斯公式 (Stokes' theorem)。

(1)设为函数曲面的上侧,其有向边界的正向与的正向符合右手规则,即用右手除拇指外的四指顺着的方向握拳,右手大拇指所指的方向与的正向的指向相同,如下图所示,也称为 正向边界曲线 。下图中还绘制出了面上的投影;以及面上的投影,这是的边界曲线,也是一条有向曲线。

下面开始证明,先说一下思路,首先只关注斯托克斯公式左侧的一部分,也就是只关注,把这个通过之前学习过的一些计算法转为,再转为,即:

然后依然上面的方法去处理注斯托克斯公式左侧的其余部分,就可以完成证明了。

下面来完成第一步,把转为。根据可知,存在:

然后要求的积分可以转为:

根据,得出的法向量为:

因为为函数曲面的上侧,观察上图可知其方向是往上翘的,而这里计算出来的法向量分量为,这说明也是往上翘的,所以是曲面的方向,所以曲面的单位方向向量为:

所以有:

因为,根据,所以:

上式将中的代替了,得到,对其运用可得:

所以:

根据,所以有:

也就是有:

因为函数在曲线点处的值与函数在曲线上对应的点处的值是一样的,并且两曲线上的对应小弧段在轴上的投影也一样,根据,所以有:

如果为函数曲面的下侧,那么上面的式子都要改变符号,所以依然有:

        (2)如果对应的曲面不能通过函数来表示,那么可将分成有限个小曲面,使得每个小曲面都可以通过函数来表示,然后套用(1)中的式子计算并相加,将公共部分抵消后依然可以得到(1)中的结论。

        (3)同样的道理可得:

综合起来可得斯托克斯公式: