斯托克斯公式

假设存在有向光滑闭曲线(或者由几个有向光滑曲线组成),该有向曲线为有向光滑曲面(或者由几个有向光滑曲面组成)的边界,且有向曲线的方向的正向符合右手法则。在该有向曲面上定义有向量函数,它的各个分量具有一阶连续偏导数。那么有:

该定理称为

定理的条件看起来有点复杂,解释一下。拿刚才闭曲线来举例子,用箭头标出闭曲线的运动方向,这样闭曲线就可以表示为有向光滑闭曲线。该有向光滑闭曲线是有向光滑曲面(或者由几个有向光滑曲面组成)的边界,两者方向要符合右手法则,所以的正向如下图所示:

下面来证明比较特殊的一种情况,假设函数曲面,其中具有二阶连续偏导数。函数曲面的边界为有向曲线,函数曲面的正方向和有向曲线的方向符合右手法则。函数曲面上的投影是简单闭区域,它的边界和函数曲面的边界相对应:

假设,那么旋度为:

根据第二类曲面积分的计算方法可得:

假设曲线为参数方程:

那么对应的曲线为:

根据第二类曲线积分的参数计算方法可得:

上面最后一步是运用了格林公式。记住的函数,又有,所以上面的式子需要计算下去,就要考虑复合函数的求导:

因为二阶偏导连续,所以混合偏导相等,上面的式子整理后,最终可得:

根据,斯托克斯公式还可写成

其中为有向曲面在点处的单位法向量。

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