上述定理就是神奇的 黎曼重排定理 （Riemann rearrangement theorem），其证明这里就不讨论了，下面通过例子来理解下该定理。通过之前的学习可知，交错调和级数是条件收敛的，这里假设其收敛于，即：

下面对其进行一下重排，就可以得到完全不同的和：

我们再来看看如何重排交错调和级数，使得重排后的和为。先在交错调和级数中选出前面三个正项构造新级数，其部分和为：

、、点如下图所示，其中点绘制为红色，这是强调点已经超过了。

接着在交错调和级数选出第一个负项加入新级数得到，这样就会小于，也就是下图中的第一个蓝点。再接着累加正项直到第二个超过的红点出现。如此反复，最终通过重排使得新级数收敛于。

不光是交错调和级数，实际上的级数总是包含无数个正项以及无数个负项，通过在正项、负项中挑选、重排，最终可以使得的级数趋于任意值，甚至发散。