那么该幂级数的为：
下面来分情况讨论。
（1）如果存在，那么有：
根据，当时，即时，绝对值级数，即幂级数。而当时，即时，绝对值级数发散，并且根据：
结合上，可推出，时有：
因此不趋于零，从而也不趋于零，根据，因此幂级数发散，所以其为。
（2）如果，那么对于任何，有：
根据，所以绝对值级数，即幂级数，于是。
（3）如果，那么对于任何，有：
根据，对于某，，时有：
因此不趋于零，从而也不趋于零，根据，所以幂级数发散，于是。
之前学习过对应的的为，也就是说该级数的。根据上述定理也可以求出同样的结果：
顺便解读下的几何意义，和之前解读过的为非常类似。我们知道的和函数为，那么在以为中心、为半径的区域内，当时会有，如下图所示。
幂级数的收敛半径
