根据来计算,最麻烦的就是要考虑的任意划分。不过如果已知的话,那么可以选择一种容易计算的划分来进行求解。
在直角坐标系中,当时,通常用平行于坐标轴的直线网来划分,
所以此时的也可记作:
类似于称为的 面积元素 ,称为在 直角坐标系中的面积元素 。
若可以表示为:
其中函数、在区间上,则称为(Type I Region)。
下图所示的就是三种属于型区域的。
若可以表示为:
其中函数、在区间上,则称为(Type II Region)。
下图所示的就是两种属于型区域的。
若函数在矩形区域上,则:
或记作:
其中,
上述定理不做证明,下面通过举例来说明一下。如下图所示,其中的函数在矩形区域上。
4.1 求解的思路
在《马同学图解微积分·上》中学习过,这里计算函数在矩形区域上的也是相同的思路。结合这里的问题,下面将该思路再重复一遍。
下图左侧是函数在矩形区域上的,其体积就是要求的函数在矩形区域上的。为了求出该体积,我们将轴上的区间任意分为份,是其中的一个小区间。作该过点、平行于轴的截面积,如下图右侧所示。
然后以截面积为底、为高可作出一柱体,如下图左侧所示。用同样的方法,分别以截面积、、、为底,以、、、为底可作出个柱体,这些柱体可以近似所要求的,如下图右侧所示。并且通过求这些柱体的极限,最终可得到该的体积。
4.2 求出截面积
根据上面分析的思路,让我们先求出截面积。该截面积可看作由直线、、及曲边所围成的的面积,如下图所示。
所以截面积可通过求出,即:
这里讨论的并非某个特定的数值,所以可将上述截面积中的用自变量替换,这样就得到了截面积函数,即:
根据上述定理中的“函数在矩形区域上”,可得截面积函数在区间上。
4.3 求出二重积分
因为截面积为底、为高的柱体的体积为,所以分别以截面积、、、为底,以、、、为底作出的个柱体的体积和为:
也就是说我们得到了单个柱体的体积,以及个柱体的体积和,如下图所示。
下面要对个柱体的体积和求极限,从而得出函数在矩形区域上的的体积。令,因为截面积函数在区间上,根据,所以时上述的极限存在,也就是。所以:
所以要求的函数在矩形区域上的为:
上述推论过程中,如果划分轴上的区间,那么就可以得到:
函数在区域上,
-
若区域
为
型区域,即
,其中
、
在区间
上
,则下列
可转为先对
、后对
的
二次积分 ,即:
-
若区域
为
型区域,即
,其中函数
、
在区间
上
,则下列
可转为先对
、后对
的
二次积分 ,即: