直角坐标系下的富比尼定理

1 直角坐标系下的二重积分

根据来计算,最麻烦的就是要考虑的任意划分。不过如果已知的话,那么可以选择一种容易计算的划分来进行求解。

在直角坐标系中,当时,通常用平行于坐标轴的直线网来划分

  • 对于矩形而言,如下图左侧所示,划分后的小都是矩形,设其边长为,则有
  • 对于非矩形而言,如下图右侧所示,进行划分后,忽略掉边缘不规则的白色部分(这些部分在时是可以忽略的,具体的证明此处略去),其余灰色部分的小都是矩形,设其边长为,则也有

矩形闭区域中的

非矩形闭区域中的

所以此时的也可记作:

类似于称为 面积元素 称为 直角坐标系中的面积元素

2 型区域
可以表示为:

其中函数在区间,则称(Type I Region)。

下图所示的就是三种属于型区域的

3 型区域
可以表示为:

其中函数在区间,则称(Type II Region)。

下图所示的就是两种属于型区域的

4 富比尼定理的较弱形式
若函数在矩形区域,则:

或记作:

其中,

  • 称为先对、后对 二次积分 (Integrate the function twice)
  • 称为先对、后对 二次积分

上述定理不做证明,下面通过举例来说明一下。如下图所示,其中的函数在矩形区域

4.1 求解的思路

《马同学图解微积分·上》中学习过,这里计算函数在矩形区域上的也是相同的思路。结合这里的问题,下面将该思路再重复一遍。

下图左侧是函数在矩形区域上的,其体积就是要求的函数在矩形区域上的。为了求出该体积,我们将轴上的区间任意分为份,是其中的一个小区间。作该点、平行于轴的截面积,如下图右侧所示。

函数及对应的曲顶柱体

曲顶柱体的截面积

然后以截面积为底、为高可作出一柱体,如下图左侧所示。用同样的方法,分别以截面积为底,以为底可作出个柱体,这些柱体可以近似所要求的,如下图右侧所示。并且通过求这些柱体的极限,最终可得到该的体积。

为底、为高的柱体

个柱体

4.2 求出截面积

根据上面分析的思路,让我们先求出截面积。该截面积可看作由直线及曲边所围成的的面积,如下图所示。

所以截面积可通过求出,即:

这里讨论的并非某个特定的数值,所以可将上述截面积中的用自变量替换,这样就得到了截面积函数,即:

根据上述定理中的“函数在矩形区域”,可得截面积函数在区间

4.3 求出二重积分

因为截面积为底、为高的柱体的体积为,所以分别以截面积为底,以为底作出的个柱体的体积和为:

也就是说我们得到了单个柱体的体积,以及个柱体的体积和,如下图所示。

下面要对个柱体的体积和求极限,从而得出函数在矩形区域上的的体积。令,因为截面积函数在区间,根据,所以时上述的极限存在,也就是。所以:

所以要求的函数在矩形区域上的为:

上述推论过程中,如果划分轴上的区间,那么就可以得到:

5 富比尼定理的较强形式
函数在区域
  • 若区域型区域,即,其中在区间,则下列可转为先对、后对 二次积分 ,即:

  • 若区域型区域,即,其中函数在区间,则下列可转为先对、后对 二次积分 ,即: