傅立叶级数及其收敛定理

马同学

1 傅里叶级数

设是周期为的函数，如果有：

其中、称为函数的傅里叶系数（Fourier coefficients），它们的计算公式如下：

则上述三角级数就称为函数的傅里叶级数（Fourier series）。

（1）证明三角函数的正交性，即证明有：

上述结论不一一证明了，这里验证下其中的第四个等式。利用下列的积化和差的公式：

当时，有：

（2）求出傅立叶级数中的系数和。假设下式是成立的，即有：

先求系数。在上式的左右两侧同时积分可得：

根据（1）中给出的三角函数的正交性，上式右端除了第一项外，其余各项均为零，所以可得：

再求系数。用乘以式两侧可得：

在上式的左右两侧同时积分可得：

根据（1）中三角函数的正交性，上式右端除了的一项外，其余各项均为零，所以：

最后求系数。用乘以（1）式两侧再左右两侧同时积分，可得：

根据（1）中三角函数的正交性，上式右端除了的一项外，其余各项均为零，所以：

（3）综上，可得：

其中也包括了的计算方法。

2 傅立叶级数的收敛定理

上述定理解释了如何展开为傅里叶级数，下面的定理明确了需要满足的条件：

设是周期为的函数，如果它满足：

（1）在一个周期内连续，或只有有限个，

（2）在一个周期内至多只有有限个，

那么的傅立叶级数收敛，并且：

该定理就是傅立叶级数的收敛定理，或称为狄利克雷充分条件（Dirichlet–Jordan test）。

上述定理不做证明，下面通过一道例题来帮助理解本节学习的这两个定理。

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