常数项级数

1 常数项级数
给定,由这个数列构成的表达式:

叫做 常数项无穷级数 (Infinite series with constant terms),简称为 常数项级数 (Series with constant terms),记为,即:

其中第叫做级数的 通项 (General term)。

这里举例说明一下上述定义。在《马同学图解微积分(上)》中介绍过借助内接正多边形来计算圆面积的方法,具体来说就是分别算出内接正四边形的面积、内接正五边形的面积、内接正边形的面积等,如下图所示,据此构造数列(虽然该数列不是从开始的,但这对于后面求是没有影响的,或者从严谨性上出发可以给该数列补充前三项,比如补充为,然后通过得出圆的面积。

内接正多边形面积的数列

这里再介绍另外一种计算圆面积的方法,先算出内接四边形的面积,如下图左侧所示。再以该内接四边形的边为底构造个顶点在圆边界上的等腰三角形,这个等腰三角形的面积之和为,如下图中间所示。又以这些等腰三角形的腰为底构造个顶点在圆边界上的小等腰三角形,这个小等腰三角形的面积之和为,如下图右侧所示。

内接四边形的面积

个等腰三角形的面积之和

个小等腰三角形的面积之和

容易理解,上述面积之和就是该圆的内接正十六边形的面积,如下图所示。

以此类推作出更多的等腰三角形,然后分别相加就可以构造出,那么所求圆面积就是该数列的级数,即:

2 部分和、部分和数列
常数项级数的前项和:

称为 级数的部分和 (Partial sum of series),或简称为 部分和 (Partial sum)。当依次取时,即:

它们构成一个新的,该称为 部分和数列 (Sequence of partial sum)。

还是举例说明一下上述定义。上面介绍级数时通过等腰三角形构造出,其部分和就是内接正四边形的面积,就是内接八边形的面积,就是内接是十六边形的面积,如下图所示。这些部分和及更多部分和构成的数列就是部分和数列。

3 常数项级数的敛散性
如果常数项级数的部分和数列有极限,即:

那么称该级数 收敛 称为该级数的。否则称该级数 发散

依然举例说明一下上述定义。上面介绍了通过等腰三角形构造出的,其部分和数列如下图所示。该部分和数列和本节最开始提到的内接多边形数列挺相似的,所以容易理解就是图中圆的面积,因此级数是收敛的,其和是圆的面积。

4 小结

上述的三个定义的就是将常数项级数拆分为部分和,以及部分和数列的极限来计算,即:

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