正项级数及其审敛法

1 正项级数
如果对于某始终有,则该级数称为 正项级数 (Series with nonnegative terms)。
2 正项级数收敛的充要条件
设正项级数,则:

这就是 正项级数收敛的充要条件 (Necessary and sufficient condition for convergence of series with nonnegative terms)。

(1)当收敛时,即存在时,根据,所以

        (2)当时,又正项级数满足,所以,即有:

根据,所以存在,即收敛。

3 正项级数的比较审敛法
都是,如果有,那么:

这就是 正项级数的比较审敛法 (Comparison test of series with nonnegative terms)。

(1)当收敛于时,根据,可知其,即使得:

结合上条件中的,所以满足:

,根据,所以此时收敛。

        (2)当发散时,用反证法,若收敛,那么根据(1)的结论,也要收敛,与(2)给出的条件矛盾,所以此时必发散。

4 正项级数的极限比较审敛法
都是(之前级数写作是为了和部分和进行区分,这里的证明不需要用到部分和了,所以就选择更常用的写法,也就是写作,后面会酌情混用这两种写法)

(1)如果,则同敛散;

(2)如果,而收敛,则收敛;

(3)如果,而发散,则发散。

这就是比较审敛法的极限形式,或叫做 极限比较审敛法 (Limit comparison test)。

(1)已知,由可知,因为,有:

根据,如果收敛,因为,所以收敛;如果发散,因为,所以发散。

        (2)已知,由可知,,有:

根据,如果收敛,因为,所以收敛。

        (3)已知,根据,有:

根据,如果发散,因为,所以发散。

5 正项级数的比值审敛法
,并假定有:

那么:

(1)若,则该级数收敛;

(2)若,则该级数发散;

(3)若,则该级数可能收敛也可能发散;

这称为 比值审敛法 (Ratio test),或者叫 达朗贝尔判别法 (D'Alembert's test)。

(1)当时,取一个适当小的正数,使得,因为,根据,所以,有:

所以有:

上面一系列不等式的左右两边构成两个数列:

其中就是公比,该级数是收敛的。因为,根据,所以也收敛。而相比只是相差有限项,根据,所以也收敛。

        (2)当时,取一个适当小的正数,使得,因为,根据,所以,有:

所以当时,是逐渐增大的,从而。根据,所以是发散的。

类似的,也可以证明当时,级数是发散的。

        (3)当时,比如级数有:

根据上一节的学习可知,级数在时收敛,在时发散,所以此时不能确定敛散性。

6 正项级数的根值审敛法
,并假定有:

那么:

(1)若,则该级数收敛;

(2)若,则该级数发散;

(3)若,则该级数可能收敛也可能发散;

这称为 根值审敛法 (Root test),或者叫 柯西判别法 (Cauchy root test)。

(1)当时,取一个适当小的正数,使得,因为,根据,所以,有:

因为,其公比,所以该级数收敛。结合上,所以收敛。

        (2)当时,取一个适当小的正数,使得,因为,根据,所以,有:

从而。根据,所以是发散的。

类似的,也可以证明当时,级数是发散的。

        (3)当时,比如级数有:

根据之前的学习可知,级数在时收敛,在时发散,所以此时不能确定敛散性。

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