泰勒级数和泰勒展开式

1 泰勒级数和泰勒展开式
设函数点的某一内具有各阶,如果在该邻域内中的满足:

那么有:

上述称为点的 泰勒级数 (Taylor series),上述表达式称为点的 泰勒展开式 (Taylor expansion)。若上述,那么对应的泰勒级数和泰勒展开式为:

上述泰勒级数也称为 麦克劳林级数 (Maclaurin series),上述泰勒展开式也称为 麦克劳林展开式 (Maclaurin expansion)。

上述定理和其实是一回事,只是从的角度重新讲述了一遍。具体来说是这样的,上述定理将看作,其对应的就是泰勒级数,而泰勒展开式是对两者关系的描述:

1.1 泰勒级数和泰勒展开式的几何意义

上述定理还有几何意义,这里举例说明一下。比如对于,根据上述定理可写出其在点处的泰勒展开式:

该泰勒展开式的几何意义是,随着的增大,泰勒级数会越来越接近它的,如下图所示。而当时有,这就无法展示了。

随着的增大,点处的泰勒级数的部分和越来越接近和函数

其中提到的泰勒级数为:

1.2 泰勒公式的余项

上述定理还提到了中的,该余项的几何意义是的差值,如下图所示。

点处的余项

时才有时有,我们可以验证一下是否满足该条件。写出点处的

其中之间的某个值。所以点处的是满足条件的,即:

上述求解中运用了这个结论,该结论是这么来的,,根据可知,据此就很容易得出

1.3 泰勒级数的收敛半径

最后还可以计算一下泰勒级数,可用换元得到,对于换元后的有:

根据,所以,从而可知泰勒级数也为,即其

综上,最终得到了点处的完整的泰勒展开式:

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