收敛级数的基本性质

1 收敛级数的性质(1)
如果收敛于和,那么也收敛,且和为 ,那么:

根据,所以:

这就表明也收敛,且和为

之前介绍过,由等腰三角形构造的收敛于圆的面积,如下图左侧所示。那么上述性质说的就是,这些等腰三角形(包含中心的正方形)的面积都缩放倍的话,那么就收敛于缩放了倍圆的面积,如下图右侧所示。

2 收敛级数的性质(2)
如果分别收敛于,那么也收敛,且和为 分别为,那么:

根据,所以:

这就表明也收敛,且和为

假设收敛于圆的面积,而收敛于另外一个圆的面积,那么上述性质说的就是,收敛于这两个圆面积之和(差)。

3 收敛级数的性质(3)
中去掉、加上或者改变有限项,不会改变级数的收敛性。 ,将该级数的前项去掉,新级数为:

根据,所以:

这就表明去掉前项的依然收敛,其他的情况类似可证。

中去掉、加上或者改变有限项,相当于该加减上某个常数,如下图所示,所以显然是收敛的,这就是上述性质所描述的。

4 收敛级数的性质(4)
如果收敛,那么对该级数的项任意加括号后所成的级数:

依然收敛,且其和不变。或者可以简单表示为:

设级数,加括号后所成的级数所成的,则:

可见,根据题意可知的,结合上,所以必然收敛,且有:

即加括号后所成的级数收敛,且其和不变。

上述性质有点像加法结合律:

但又不完全一样,比如下面这个级数是收敛于零的:

但去掉括号后的级数却是发散的,也就是说任意去括号是不行的:

5 级数收敛的必要条件
如果,则其趋于零,即:

,且,则:

上述性质很好理解,如果不为无穷小,哪怕非常小,比如:

那么无数个这样的累加起来,依然会得到无穷大,也就是说此时的的。

值得注意的是,上述性质只是级数收敛的必要条件。可以推出,但不能反过来推,即:

比如,显然其满足,但调和级数是的。

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