矩阵函数的定义域 ≥ 值域

对于而言,当时,其也为向量空间,且:

下面对进行证明,结论同样适用于

        (1)先证明,“当定义域为向量空间时,其值域也为向量空间”。假设定义域为向量空间,由,那么定义域中的任意向量可以表示为:

因为矩阵函数,所以有:

所以,值域为的张成空间,也为向量空间。

        (2)再证明,“定义域的维度 ≥ 值域的维度”。已知定义域是基的张成空间,所以定义域的维度为。上面又证明了值域是向量组的张成空间。所以,当该向量组时,值域的维度为;当该向量组,值域的维度小于。就是说始终有:

上面定义也就是说,对于某矩阵函数,如果定义域为,那么值域只能为2维、1维或者0维:

或者通过韦恩图来表示(右图的值域画的显然更小一些,用于表示“定义域 > 值域”):

定义域=值域

定义域 > 值域

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马同学高等数学
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