自然定义域下，矩阵函数的值域

马同学

在一般情况下，的为，以及的为。而在下，矩阵函数的值域分别是列空间和行空间。

1 列向量矩阵函数的值域

在下，的为列空间，即

假设为的矩阵，那么在下，的为：

假设为的，根据可知，列向量矩阵函数的自然定义域为，自然定义域中的任意向量可以由来表示：

假设的列向量为、、、:

那么根据可知，列向量矩阵函数中的为：

这也就说明，值域是由列向量组张成，即值域为列空间。

比如说矩阵，它的列向量为：

之前已经解释过了，在列向量矩阵函数中，是列向量的：

所以，该矩阵函数的值域是列空间：

2 行向量矩阵函数的值域

在下，数的为行空间，即

假设为的矩阵，那么在下，的为：

假设为的，根据可知，行向量矩阵函数的自然定义域为，自然定义域中的任意向量可以由来表示：

假设的列向量为、、、:

那么根据可知，行向量矩阵函数中的为：

这也就说明，值域是由行向量组张成，即值域为行空间。

比如说矩阵，它的行向量为：

之前已经解释过了，在行向量矩阵函数中，是行向量的：

所以，该矩阵函数的值域是行空间：

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