“连续”很好理解，比如不提笔画出来的曲线就是连续的，如下图所示。
那在数学中应该如何定义“连续”呢？观察下图左侧和下图右侧中的两条曲线，想象在这两条曲线上有一只蚂蚁想从点爬行到点，那么这只蚂蚁需要水平移动，以及竖直移动（下图左侧和下图右侧中的，表示点的蚂蚁与点的横向差距，可以是正，也可以是负。，表示点的蚂蚁与点的纵向差距，可以是正，也可以是负）。在下图左侧中的连续曲线上，蚂蚁在两个方向上的移动都不大，因此可以到达目的地。而在下图右侧中的不连续曲线上，蚂蚁在竖直方向上的移动非常大，因此没有能力到达目的地。
根据上述对蚂蚁移动的观察，可以得出“连续”的第一种定义方式：
设函数在点的某一邻域内有定义，令：
如果那么就称函数在点 连续 。
举例解释下上述定义。先来看看上图左侧中在点连续的曲线，为了方便比较，这里去掉蚂蚁后将之重新绘制在下图左侧中，其中的点对应的函数值为，点对应的函数值为；与之间相差，与之间相差。而下图右侧中展示了，随着会有，即，此时我们说该曲线在点连续。
再来看看一开始右侧图中在点不连续的曲线，为了方便比较，也是去掉蚂蚁后将之重新绘制在下图左侧中。根据下图右侧中展示可以看到，随着不会有，此时我们说该曲线在点不连续。
连续还有另外一种常用的等价定义：
设函数在点的某一邻域内有定义，若就称函数在点 连续 。
举例解释下上述定义，比如下图左侧中在点连续的曲线，确实有。而比如下图中间和下图右侧中在点不连续的曲线，或者有，或者不存在。
如果有，那么就说函数在点 左连续 ；有，那么就说函数在点 右连续 。
比如下图左侧，有，所以函数在点是左连续的；而，所以函数在点不是右连续的。同样的道理，下图右侧中的函数在点不是左连续的，是右连续的。需要强调的是，这两幅图看着很相似，不同之处在于对应的函数值。
左连续且右连续是连续的充要条件，即：
上下移动上图左侧、上图右侧中断开的曲线，直至，就可以得到下图中在点连续的曲线，容易理解此时该曲线在点左连续且右连续，这就是上述定理的几何意义。
在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的 连续函数 ，或者说函数在该区间连续。如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续。
比如上一节证明了，故函数在整个定义域上是连续函数，如下图所示。
再比如下图中的函数是闭区间上的连续函数，其在点右连续，在点（）连续，在点左连续。
