光滑曲线的长度

马同学

光滑曲线的长度

前面几节学习了定积分以及它的求解，并通过它定义了曲边梯形的面积。其实定积分还可以提供很多定义，还有很多的应用，本节就来学习其中一些。

1 光滑曲线的长度

定义 .若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有连续的导函数，那么称该函数在 $[a,b]$ 上的是光滑的。

举例说明下，若函数 $f(x)$ 符合上述定义，则其有连续的导函数，这意味着其微分的斜率是连续变化的。从几何上观察的话，如下图所示，随着切点的移动，该点的微分在顺滑地“转动”。该函数的曲线看上去也符合我们对“光滑”的直觉。

随着 $x_0$ 的移动，光滑曲线在 $x_0$ 点的微分在顺滑地“转动”

定义 .若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上是光滑的，那么定义该函数在 $[a,b]$ 上的长度 $s$ 为：
$s=\int_a^b \sqrt{1+\Big(f'(x)\Big)^2}\mathrm{d}x$
若定义弧微分为 $\mathrm{d}s=\sqrt{1+\Big(f'(x)\Big)^2}\mathrm{d}x$ ，那么上式可以简写为 $\displaystyle s=\int_a^b \mathrm{d}s$ 。

上述给出的就是光滑曲线长度的定义（不是所有的曲线都可以求长度的，不过光滑曲线是一定可以求长度的，这里不作进一步的解释），大意就是各个线段长度之和就是光滑曲线的长度，和之前的分析是一样的。下面是进一步的解释，在 $[a,b]$ 中任意插入若干个分点 $a=x_0 < \cdots < x_{i-1} < x_i < \cdots < x_n=b$ ，将 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间，如下图所示。仔细观察函数 $f(x)$ 在小区间 $[x_{i-1},x_{i}]$ 上的曲线，该曲线的长度可记作弧长 $\overparen{P_{i-1}P_{i}}$ 。

函数 $f(x)$ 在小区间 $[x_{i-1},x_{i}]$ 上的曲线，其长度记作弧长 $\overparen{P_{i-1}P_{i}}$

在区间 $[x_{i-1},x_{i}]$ 上随便挑选一点 $\xi_i$ ，作出函数 $f(x)$ 在该点的切线，如下图所示。

作出函数 $f(x)$ 在 $\xi_i$ 点的切线

按照下述规则作出直角三角形，其图像如下图所示。

斜边为该切线在区间 $[x_{i-1},x_{i}]$ 上的一段，记作 $\Delta s_i$
底边记作 $\Delta x_i$ ，其值为 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$
高记作 $\Delta y_i$ ，因为切线的斜率为 $f'(\xi_i)$ ，所以有 $\Delta y_i=f'(\xi_i)\Delta x_i$

以 $\xi_i$ 点的切线为斜边，作出直角三角形

所以可算出斜边的长度，也就是切线段的长度如下：

$\Delta s_i=\sqrt{\Delta x_i^2+\Delta y_i^2}=\sqrt{\Delta x_i^2+\Big(f'(\xi_i)\Delta x_i\Big)^2}=\sqrt{1+\Big(f'(\xi_i)\Big)^2}\Delta x_i$

根据微积分“以直代曲”的思想，可认为弧长 $\overparen{P_{i-1}P_{i}}$ 近似等于切线段长度 $\Delta s_i$ ，即：

$\overparen{P_{i-1}P_{i}}\approx\Delta s_i=\sqrt{1+\Big(f'(\xi_i)\Big)^2}\Delta x_i$

记函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 之间的曲线的长度为 $s$ ，该长度可近似为如下：

$s=\sum_{i=1}^{n}\overparen{P_{i-1}P_i}\approx\sum_{i=1}^{n}\Delta s_i=\sum_{i=1}^{n}\sqrt{1+\Big(f'(\xi_i)\Big)^2}\Delta x_i$

令 $\lambda=\max\{\Delta x_1,\Delta x_2,\cdots,\Delta x_n\}$ ，因为函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，根据可积的充分条件 1，所以 $\lambda\to 0$ 时上述和的极限存在，并且可以直观地认为 $\approx$ 变为了 $=$ 。所以定义函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 之间的曲线长度 $s$ 为：

$s=\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n}\sqrt{1+\Big(f'(\xi_i)\Big)^2}\Delta x_i=\int_a^b\sqrt{1+\Big(f'(x)\Big)^2}\mathrm{d}x$

其中用于近似弧线段的切线段称为该弧线段的微分，简称弧微分，记作 $\mathrm{d}s$ 。所以弧长公式可以理解为弧微分之（积分）和：

$s=\int_a^b\underbrace{\sqrt{1+\Big(f'(x)\Big)^2}\mathrm{d}x}_{\large \text{弧微分}\ \mathrm{d}s：\text{近似弧线段的切线段}}=\underbrace{\int_a^b \mathrm{d}s}_{\large \text{弧微分之（积分）和}}$

2 光滑曲线长度的例题

例 .请计算曲线 $\displaystyle f(x)=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$ 上相应于 $a\le x \le b$ 的一段弧的长度。

解 .下图所示的就是曲线 $\displaystyle y=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$ 上相应于 $a\le x \le b$ 的一段弧。
曲线 $\displaystyle f(x)=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$ 上相应于 $a\le x \le b$ 的一段弧
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曲线 $\displaystyle f(x)=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$ 的导函数 $f'(x)=x^{\frac{1}{2}}$ 是连续的，所以这是光滑曲线。可以先求出其弧微分：
$\mathrm{d}s=\sqrt{1+\Big(f'(x)\Big)^2}\mathrm{d}x=\sqrt{1+(x^{\frac{1}{2}})^2}\mathrm{d}x=\sqrt{1+x}\mathrm{d}x$
结合上弧长的计算公式，因此所求弧长 $s$ 为：
$s=\int_a^b \mathrm{d}s=\int_a^b \sqrt{1+x}\mathrm{d}x=\left[\frac{2}{3}(1+x)^{\frac{3}{2}}\right]_a^b = \frac{2}{3}[(1+b)^{\frac{3}{2}}-(1+a)^{\frac{3}{2}}]$