定理 1（辛钦大数定律）.设是独立同分布的随机变量序列，若存在，则服从大数定律。

说明 . 独立同分布 （independent and identically distributed，也简记为i.i.d.）指序列中各变量既相互独立，又具有完全相同的分布（类型和所有参数都相同）。本定理可通过截断技巧、特征函数等复杂的数学方法得证，超出本书范围，故略去。

辛钦大数定律（定理 1 ）仅要求独立同分布及期望存在，但不要求方差存在。由于方差存在则期望一定存在，但反之不然。故本定律条件更弱，适用范围更广。

回顾前面的切比雪夫大数定律，我们说它好比“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”：众人可以各有所长（不同分布）、想法独特（不相关），但不能太离谱（方差有共同上界）。而辛钦大数定律则描绘了另一种情形：当群体背景一致（同分布）、独立决策（独立）时，即使有“疯子”（方差不存在），只要整体水平在线（期望存在），集体智慧依然可以涌现。

例 1.据说某国成年女性的平均体重为58kg，如图 1 所示，请问我们怎么进行验证？

图 1 某国成年女性体重统计示意图

解 .随机抽取名该国成年女性，记录其体重为。需要解释一下：

• 抽取时需要保证独立性，比如避免抽到都是同一年龄段的，或全是女篮运动员
• 随机抽取女性的体重也是随机的，因此是
• 的取值是该国成年女性可能的体重，代表了该国成年女性的体重分布，即具有相同的分布

因此，随机变量序列独立同分布且（为该国女性的平均体重）。由辛钦大数定律（定理 1 ）可知服从大数定律，因此有：

这意味着，当独立地收集到足够多的体重值（的取值）时，其算术平均数会大概率趋近于。若，那么就有理由相信题目中的“据说”。

例 2.求。

解 .（1）估算。设服从区间上的，其为：

设，根据，可知其正好为待求：

构造独立同分布的随机变量序列，其中，则随机变量序列也独立同分布。由辛钦大数定律（定理 1 ）可知服从大数定律，因此有：

由于以及，所以有：

基于此，可通过蒙特卡罗方法来近似计算。具体而言，通过计算机生成个服从的随机点，其中。当足够大时，有：

相比通过来近似，本方法优势显著：不要求，只需要生成服从的随机点，运算效率更高且误差更低。

（2）几何解释。是由、、轴及曲线所围成的的“面积”这个“面积”根据情况不同有正有负，所以加上引号，具体请查看的相关知识。。我们可以通过一系列矩形来对其近似。如图 2 所示，具体做法是：

• 在区间中均匀插入分点，把分成个等长小区间 ，每个区间长度为
• 每个小区间上任取一点，以为高、小区间为底作出矩形
• 所有矩形“面积”之和就是对曲边梯形的“面积”的近似

图 2 以小区间作底，作高，可得个小矩形

均值在几何上也可视为一系列底为、高为的矩形“面积”之和，其中是在区间上均匀随机选取的点。从整体上看，和都均匀地“覆盖”了区间，使得和在概率意义上非常近似。并且越大，这种近似效果越好，此时大概率有：

举一反三，同样可通过矩形“面积”之和来近似，其中是区间上个小矩形的底边长，是在区间上均匀随机选取的点。