已知两个以及，当且仅当它们是同一个的时，那么存在唯一的，使得下式成立：
该称为由到的过渡矩阵（Transition matrix），而上述公式称为基变换公式（Change of basis formula）。
已知两个以及，下面分析下如何令下式成立：
假设以及都是维，那么、均为的，所以根据可知是的，因此设：
所以可改写为方程组：
所以当且仅当是的时，或者说在的中时，上述方程组才有解。换句话说，就是当这两个是同一个的时，才有过渡矩阵。
再来单独看其中一个等式：
因为是，所以系数是在下的，根据可知是唯一的。以此类推可得过渡矩阵是唯一的。
比如为由到，的过渡矩阵，其实就是将前者变换为了后者：
可以证明，过渡矩阵是，即有（假设为由到的过渡矩阵，即有：
令：
因为、是由构成的，所以有：
假设以及都是维，那么和都为的，那么根据可知：
根据可知：
结合上是的以及可知：
所以是。
）：
所以过渡矩阵必然，所以可用过渡矩阵在之间来回变换（假设为由到的过渡矩阵，即有：
两侧同乘上，可得：
所以为由到的过渡矩阵。
）：
