又知在下的为以及在下的为，则有坐标变换公式（Change of coordinates formula）：
因为和都是的，所以根据有：
运用进行改写后，可得：
因为存在基变换公式，所以对上式替换可得：
整理后可推出：
又因为必然，因此为，此时，所以上面的仅有零解，可得：
两边左乘上后可得：
综上，所以有：
基变换和坐标变换的区别在于，前者是右乘，后者是左乘：
尤其注意到，由到的为，而用来坐标变换的是：
如果对调变换的方向，那么就像下面这样：
