特征值和特征向量

为非零向量,若存在数使得下式成立:

那么称数称为特征值(Eigenvalue),非零向量称为的对应于特征向量(Eigenvector)。

1 几何意义

一般情况下,经过线性映射后,方向会发生改变:

不过对于特征向量而言,在线性映射后其方向不会发生改变,只是发生伸缩了对应的特征值倍:

2 求解步骤

求解步骤还是比较简单,就是通过解下列方程组来求出

更具体的步骤是,先通过第一个式子求出

然后将代入求出该

必然为,因为其中都是除外),所以也称为特征空间(Eigenspace)。

3 特征多项式与特征方程

假设:

那么可以写作:

其中展开后就是关于的多项式,所以称为特征多项式(Characteristic polynomial):

进而被称为特征方程(Characteristic equation)。

4 不同特征值的特征向量

已知相异的,以及对应的,则

用数学归纳法证明:

        (1)当时,因,此时

        (2)假设,按照归纳法,如果再往里面添加新的依然,那么结论就成立。

假设添加,那么可被该中的其它,即有:

式两侧同时乘上可得:

式两侧乘上后减去式可得:

因为,所以上式的系数全为 0;又因为互异,所以全不为 0,所以必然有,那么根据可得,这与的假设矛盾,所以必然

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