施密特正交化

如果是某,那么可通过下列做法找到该中的个两两的向量

该方法称为施密特正交化(Gram–Schmidt process)。

1 二维平面

下面以在中寻找两个的向量为例,来解释下施密特正交化是如何推导出来的。

1.1 思路

让我们从思路说起,比如想寻找中的两个向量,需要先知道的一个,也就是下图中的两个向量:

只要将其中一个向量对另外一个向量进行投影,就可以完成正交化:

2 代数

下面来进行代数推导,假设

任选其一作为,比如选

进行投影,其垂线就是要求的

如果知道了的投影:

那么根据可知:

其中的投影向量可以如下计算(根据,有:

其中上的投影长度,是和同方向的单位向量,所以说上的投影向量。

):

所以:


上述方法就称为施密特正交化,可以总结如下:

这样得到的就是的两个

这里的推导是在中完成的,实际上该结论在任意平面上也是成立的,具体的例子可以查看

3 三维立体

下面是在中寻找三个两两的向量的例子,这样可以进一步理解施密特正交化的推导。

3.1 思路

思路还是很简单,比如想寻找中的三个两两向量,需要先知道的一个,也就是下图中的三个向量:

先按照,将其中任意两个向量正交化:

然后向这两个向量的作垂线,从而得到三个正交向量:

3.2 代数

下面来进行代数推导,假设

任选两个向量,按照将其中任意两个向量正交化,得到

再将的垂线就得到

要求出只需要知道的投影:

然后根据可知:

从几何上可以看出,该投影向量是由上的投影向量和上的投影向量线性组合而成:

即:

所以:

上述过程可以总结如下:

这样得到的就是中三个两两的向量:

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