下面举例来解释惯性定理。比如下面这个：

可转为不同的，比如（

        （1）先集中包含的项，配方可得：

剩下的不包含平方项，因此进行函数换元：

得到：

令：

就得到了的标准型：

        （2）或者先集中包含的项，配方可得：

再对包含的项进行配方：

令：

就得到了的标准型

        （3）还可以通过，首先求出的为：

计算的：

所以转换得到的为：

这些的正惯性指数都为 2，负惯性指数都为 1，0 系数的数目都为 0。

可以通过正负惯性指数来严格定义二次曲线的类型，比如椭圆正惯性指数为 2；双曲线正惯性指数为 1，负惯性指数也为 1：

再比如三维的二次曲面，也是通过正负惯性指数来定义的：

有了曲线、曲面的严格定义后，各种可通过转为来判断其属于什么类型，比如之前就是这么做的。