正定与负定

马同学

正定与负定

设二次型 $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$ ，则它是：

正定（Positive definite）的，如果对所有 $\boldsymbol{x}\neq \boldsymbol{0}$ ，有 $f(\boldsymbol{x}) > 0$
半正定（Positive semidefinite）的，如果始终有 $f(\boldsymbol{x}) \geq 0$
负定（Negative definite）的，如果对所有 $\boldsymbol{x}\neq \boldsymbol{0}$ ，有 $f(\boldsymbol{x}) < 0$
半负定（Negative semidefinite）的，如果始终有 $f(\boldsymbol{x}) \leq 0$
不定（Indefinite）的，如果 $f(\boldsymbol{x})$ 既有正值又有负值

1 正负定的几何意义

比如下图中的二次型函数是正定的，同时也是半正定的：

$f(\boldsymbol{x})=x_1^2+x_2^2=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\boldsymbol{x}$

下图中的二次型函数是负定的，同时也是半负定的：

$f(\boldsymbol{x})=-x_1^2-x_2^2=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}\boldsymbol{x}$

而下图就是不定的：

$f(\boldsymbol{x})=3x_1^2-7x_2^2=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}\begin{pmatrix}3&0\\0&-7\end{pmatrix}\boldsymbol{x}$

2 赫尔维茨定理

可以通过下面这个定理来判断正定与负定：

已知二次型 $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$ ，其为正定的充分必要条件是， $\boldsymbol{A}$ 的各阶顺序主子式都为正，即：

$a_{11} > 0,\quad \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix} > 0,\cdots, \begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\quad\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix} > 0$

为负定的充分必要条件是，奇数阶顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正，即:

$(-1)^r\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1r}\\ \vdots&\quad&\vdots\\a_{r1}&\cdots&a_{rr}\end{vmatrix} > 0 \quad (r=1,2,\cdots,n)$

这个定理称为赫尔维茨定理（Hurwitz theorem）。

这里提一下该定理在数学中的应用，如果学过《单变量微积分》会知道，如果知道二阶导数和 $0$ 的关系，就可以知道极值点是极大，还是极小：