正定与负定

马同学

设，则它是：

1 正负定的几何意义

比如下图中的函数是正定的，同时也是半正定的：

下图中的函数是负定的，同时也是半负定的：

而下图就是不定的：

2 赫尔维茨定理

可以通过下面这个定理来判断正定与负定：

已知，其为正定的充分必要条件是，的各阶都为正，即：

为负定的充分必要条件是，奇数阶为负，而偶数阶为正，即:

这个定理称为赫尔维茨定理（Hurwitz theorem）。

这里提一下该定理在数学中的应用，如果学过《单变量微积分》会知道，如果知道二阶导数和的关系，就可以知道极值点是极大，还是极小：

，极值点为极大值

，极值点为极小值

但到了《多变量微积分》的时候，二阶导数就是一个，也就是下面说的海森矩阵，这个时候就需要通过来描述它和的关系：

设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，则其二阶导数，即海森矩阵为：

如果又有：

那么：

（1）为极大值，当且；

（2）为极小值，当且；

（3）非极值点，当；

（4）无法判断是否为极值点，当。

从而判断出极值点的情况，也就是下图中的红点是极大值点，还是极小值点：

正定，且

负定，且

关注马同学

微信公众号：matongxue314

马同学机器学习

马同学图解数学

关注马同学

微信公众号：matongxue314