正定与负定

,则它是:
  • 正定(Positive definite)的,如果对所有,有
  • 半正定(Positive semidefinite)的,如果始终有
  • 负定(Negative definite)的,如果对所有,有
  • 半负定(Negative semidefinite)的,如果始终有
  • 不定(Indefinite)的,如果既有正值又有负值
1 正负定的几何意义

比如下图中的函数是正定的,同时也是半正定的:

下图中的函数是负定的,同时也是半负定的:

而下图就是不定的:

2 赫尔维茨定理

可以通过下面这个定理来判断正定与负定:

已知,其为正定的充分必要条件是,的各阶主子式都为正,即:

为负定的充分必要条件是,奇数阶主子式为负,而偶数阶主子式为正,即:

这个定理称为赫尔维茨定理(Hurwitz theorem)。

这里提一下该定理在数学中的应用,如果学过《单变量微积分》会知道,如果知道二阶导数和的关系,就可以知道极值点是极大,还是极小:

,极值点为极大值

,极值点为极小值

但到了《多变量微积分》的时候,二阶导数就是一个,也就是下面说的海森矩阵,这个时候就需要通过来描述它和的关系:

设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,则其二阶导数,即海森矩阵为:

如果又有:

那么:

(1)为极大值,当

(2)为极小值,当

(3)非极值点,当

(4)无法判断是否为极值点,当

从而判断出极值点的情况,也就是下图中的红点是极大值点,还是极小值点:

正定,

负定,

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