若,且、,则:
若,,那么:
下面对每个性质进行证明。
(1)证明。容易知道:
所以。
(2)证明。对两侧同时可得:
由以及可得:
令,则上式可以改写为:
因为必然为,所以。
(3)证明。对两侧同时可得:
由可得:
(4)证明当是时,有。首先,在时,根据可得:
然后,对两侧同时可得:
综合上面的两个结论可得:
对上式两侧同时,并结合可得:
因此相似于。
(5)证明。若,,根据,则存在以及,使得:
可以进一步推出:
令,很显然这也是,因此有,所以上式可改写为:
因此根据有。
其中的可以用图解来帮助下理解,就是将的映射关系反一下: