前面学习了如何判断方程是否有解，我们先来看一道例题：

然而在实际应用中，对于方程，当不在值域中时，我们可以用值域中的任意一点来替换，有解

若点满足，即是到点距离最短的点，则称为值域中的元素对的最佳逼近，对应的方程解得的为最佳近似解。

当值域是一条直线时，最短的距离就是它到直线的投影距离：

当值域是一个平面时，最短的距离也是它到平面的投影距离：

因此要找到最佳逼近的点，我们只需要过，向值域作投影，就能找到点，下面我们来学习一下如何作直线和平面的投影

假设的两个向量分别为，则在的向量可以通过从向作垂线得出：

其中就是所需要的投影，大小为：

这就是例题中所要解决的问题，要得到到向量所张成的平面的投影，我们可以作如下操作。

平面取一组正交基；分别求得到的投影,到的投影，两者之和即为所求投影。

因此：

现在离成功只差了一步，就是如何得到值域正交的基：

如何将基变为正交的基，施密特给出了这样的思路：

(1)固定一个向量如，可以记作

(2)第二个向量向作投影

(3)用减去投影得到

(4)用第三个向量向张成的平面作投影

(5)用减去投影得到

总结下来就是作投影，然后用原向量减去投影得到垂向量这样的过程一直重复，我们现在用三维来带着大家走一遍：

假设为、和：

选择不变，将正交化得到和：

再将作的垂线就得到：

要求出只需要知道的投影：

然后根据可知：

从几何上可以看出，该投影向量是由在上的投影向量和在上的投影向量线性组合而成：

即：

所以：

上述过程可以总结如下：

这样得到的就是中三个两两的向量：

现在无解的方程，我们都可以求它的最佳近似解了。