本课继续来学习向量的运算。让我们从开始，这是《马同学图解线性代数》课程中的重要知识点，本课程不会讲解其中的细节，只是介绍一些相关内容。

在《马同学图解线性代数》中学习过，下图中由和围成的蓝色平行四边形，其面积为。

为了更好的说明，这里给出上图中的具体数值，即和。可以算出它们围成的蓝色平行四边形的面积为：

但，如果行列式的第一列是，第二列是，即像下面这样计算，此时得到的结果就是负数：

要理解有正有负的几何意义，需要进入三维空间来观察上述由和围成的平行四边形，如下图所示，此时的该平行四边形就有两个朝向，朝向“上面”和朝向“下面”。

可通过右手法则来区分“上面”和“下面”，具体来说就是，右手从往握拳，如下图左侧所示，此时大拇指朝向轴的正方向，则大拇指所在这一面就是“上面”。右手从往握拳，如下图右侧所示，此时大拇指朝向轴的负方向，则大拇指所在这一面就是“下面”。

因此所谓的“上面”就是轴的正方向，即单位向量所指的方向；而“下面”就是所指的方向。结合上的正负以及“右手法则”，我们就可以表示出朝向“上面”的平行四边形、以及朝向“下面”平行四边形：

• 构造第一列为、第二列为的行列式（表示从往握拳），将之和相乘得到如下：

  这表示的就是：面积为、朝向“上面”（即所指的方向）的平行四边形，也就是上图左侧

• 构造第一列为、第二列为的行列式（表示从往握拳），将之和相乘得到如下：

  这表示的就是：面积为、朝向“下面”（即所指的方向）的平行四边形，也就是上图右侧

所以的正负代表了平行四边形的朝向，而其模长代表了平行四边形的面积，所以的几何意义就是 有向 平行四边形的面积。

除了所指方向，还有所指方向以及所指方向，如下图所示。

根据上面的分析可知，结合上、、就可表示这些朝向的平行四边形，比如：