古希腊哲学家芝诺，如图所示，提出了一个著名的悖论，就是本节要介绍的阿基里斯悖论。这个困扰数学家、哲学家多年的悖论，终于可以用数列的极限来解决了。

在希腊传说中，阿基里斯是跑得最快的人。一天他正在散步，忽然发现在他前面 9 米远的地方有一只大乌龟正在慢慢地向前爬。

• 乌龟说：“阿基里斯！ 谁说你跑得最快？你连我都追不上！”
• 阿基里斯回答说：“胡说！我的速度比你快何止百倍！就算是你的 10 倍，我也马上就可以超过你！”
• 乌龟说：“就照你说的，我们来试一试吧！当你跑到我现在这个地方，我已经向前爬了 0.9 米。当你再向前跑过 0.9 米时，我又爬到前面去了。每次你追到我刚刚经过的地方，我都又向前爬了一段距离。你只能离我越来越近，却永远也追不上我！”。
• 阿基里斯说：“哎呀!我明明知道能追上你，可你说的好像也有道理，这是怎么回事呢? ”

阿基里斯悖论可以如下图来表示。

不妨令阿基里斯步行的速度为，乌龟爬行的速度为，并且在比赛之前，阿基里斯让乌龟先爬。在这种条件下，

• 阿基里斯到达乌龟所在的第一个位置所需时间为，此时乌龟又爬了，计算过程如下：

• 阿基里斯到达第二个位置要所需时间为，而乌龟又爬了，计算过程如下：

• 阿基里斯到达第三个位置所需时间为：

上述过程如下图所示。

这些数字按其先后，可以构成如下：

根据柯西的数列极限，容易知道：

所以，之后就可以追上的。

如果看了上面的数学分析还不太理解，这里可以再解释一下。在这里，乌龟将有限长的距离切为无限份，然后说这无限份的距离需要无限的时间才能通过，也就是永远追不上。实际上就是将“有限长的距离”偷换为了“无限份的距离”，所以说乌龟在诡辩。