不定积分

这一节我们继续对进行讨论:

  • 在本节中,我们会发现并不唯一
  • 本节会引入新的概念,不定积分,来表示所有的
1 原函数并不唯一

我们知道有,同时也有,所以都是在区间上的一个,即:

也可通过图像来理解,函数及函数为任意常数)的图形完全一样,只是纵向平移了,如下图所示。所以两者在点的微分平行,或说两者在点的微分的斜率相等,即

函数以及函数的图像,两者在点的微分平行

2 不定积分的定义

根据上面的描述我们知道了,并不唯一且有无数多个,所以有了下面的定义:

如果在区间上的一个,那么为任意常数)称为(或)在区间上的 不定积分 (Indefinite integral),记作:

其中记号称为 积分号 称为 被积函数 称为 被积表达式 称为 积分变量

上述定义涉及到的符号较多,这里用下图来总结一下。

不定积分定义中的各种符号

3 原函数与不定积分
可以证明,不定积分表示了的所有假设的一个另外一个,那么有:

,导数为的函数必为常函数,所以:

即不定积分的所有

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