牛顿大神在数学、物理演算中,经常会用到“流数”(fluxions),也就是现在称之为的无穷小。比如,下面是牛顿计算
乔治·贝克莱(George Berkeley,1685-1753),也称为贝克莱主教,对这种做法进行了激烈的批评,说“流数”在运算中突然消失(指上面“忽略
这确实是蛮严重的、又切中要害的批评,在严肃的数学运算中,怎么能凭空让某个量消失呢?所以在微积分发展历史中,贝克莱主教的评论在很长的时间都是笼罩在上空的乌云,直到后来魏尔施特拉斯严格定义了什么是无穷小之后才消散。
关于贝克莱主教的疑问,我们已经另文解释过了,本文想讨论的是另外一个问题,为什么乔治·贝克莱,圣公会的主教,著名的英裔爱尔兰哲学家,在数学上的业务能力这么强?又为什么会对牛顿提出质疑?阿米尔·亚历山大在《无穷小》一书中回答了这个问题,简单来说就是,欧洲中世纪,宗教争斗无处不在,数学也是重要的必争之地。下图是《无穷小》这本书的封面:
下面,我们来进行更详细的解释(文中涉及到很多历史,纰漏之处,望大家指正)。
1632年,5位身穿黑袍的教士,聚集在位于台伯河左岸的罗马宫殿里,他们代表天主教会正在对意大利著名的数学家、物理学家、天文学家伽利略·伽利莱(Galileo Galilei,1564-1642)的某项研究进行裁决。这个研究是,讨论线段可不可以看作由无穷多个、长度为无穷小的点构成(具体的讨论请参看这里):
最后他们作出决定,不赞成该项研究,禁止在教会内传播(下图是油画《伽利略在宗教裁判所》):
这次裁决并非是孤立的事件,更多关于无穷小的裁决纷至沓来。最终,在整个天主教世界,尤其是大本营意大利,各种关于无穷小的学说,都被禁止研究、讨论,更不能向他们的年轻人传授(当时,天主教举办了很多学校,这些学校往往都是名校,所以在教育界的影响力也是很大的)。
作为希腊遗产继承者之一,意大利一直保持着杰出的数学传统,最终在黑暗中孕育出了文艺复兴运动,成为了人类文明的转折点,并且在这之后的一段时间,它的艺术和科学激励了整个欧洲(下图是油画《雅典学院》,象征著文艺复兴全盛期的精神):
但是,天主教会对无穷小的否定,事实上完全停止了高等数学在意大利的发展。而更宽松的英国、法国继续在讨论、研究无穷小,其中重要的结果是,牛顿发明了微积分,并与万有引力一起在数学上描述了整个“世界体系”。可以说没有微积分,就没有现代社会。
正是从这个时候开始,曾经充满着活力和创造力的意大利,逐渐沦为了欧洲经济的边缘地带,开始落后于欧洲北部的主要竞争对手(当然,这么说有点过于夸大这一次裁决的意义,意大利还有别的问题,比如罗马教皇非常保守,禁止了所有异端学说;意大利本身也不是统一的国家,是由国王、公爵、大公以及教皇统治的许多小公国组成的混合体,内斗不断,诸如此类)。
天主教会为什么会关心“无穷小”?这需要从古希腊人对神的认知开始说起(下图是油画《雅典娜与胜利的宙斯》):
在希腊人的认知中,所有的事物发生都是有原因的,而神是一切终极的原因,或者称为“第一因”。比如,下雨是因为有云;云为什么会在空中,是因为风吹过来的;那为什么风要往这边吹,这是因为神的意志。再比如,亚里士多德提出的地心说,地球静止在宇宙的中心,太阳、月球、水星等围绕着地球在运动。为什么它们会一直旋转呢?当然是因为神的推动。为什么它们不会像皮球一样坠落到地球上呢?也是因为神居住在最高天,它们对神明充满向往,所以一直悬浮着:
可能就是遵循上述思想,欧几里得创作了大名鼎鼎的《几何原本》:
古希腊数学家,欧几里得(前325 — 前265)
《几何原本》
书中提出了五大公理,这些公理(欧几里得以及当时的大部分人认为)都是一些很简单的事实,都是不证自明、毋庸置疑、显而易见:
(1)从一点向另一点可以引一条直线
(2)任意线段能无限延伸成一条直线
(3)给定任意线段,可以以其一个端点作为圆心,该线段作为半径作一个圆
(4)所有直角都相等
(5)若两条直线都与第三条直线相交,并且在同一边的内角之和小于两个直角,则这两条直线在这一边必定相交
然后通过逻辑推理,或者说通过演绎法,得到《几何原本》中的几百个定理。也就是说,这五大公理是整个几何学的终极原因,或者称为“第一因”。对于某些希腊学者而言,这不就是神在数学上的最好体现吗?或者说,这不是论证了神的存在吗?
1517年,马丁·路德(Martin Luther,1483-1546)在德国维滕贝格的诸圣堂门前贴出了《九十五条论纲》,强烈质疑罗马教廷关于藉金钱换取上帝赦罪(即赎罪券)的行为,极大地挑战了天主教会的权威,最终促成了基督新教的兴起:
在这样的背景下,天主教会加大了传教的力度。除了传统的教堂之外,又开始兴办教育。由于天主教会深厚的底蕴,使得教会举办的学院有着大量的杰出老师,整个天主教的贵族和富有的平民都趋之若鹜。这些学校多数分布在欧洲,但远在日本长崎、秘鲁利马也有教会学校。这称得上是一个真正的世界范围内的教育体系,可谓空前绝后。下图是该庞大教育网络的中心,罗马大学: