不等式：

这是微积分中非常重要的一个不等式，从它出发，推动逻辑齿轮，可以得到很多结论：

下面介绍该不等式的两种证明方式：

• 一种出自同济大学的《高等数学》第七版，该书偏于应用，证明比较直觉
• 另外一种参考自陶哲轩的《实分析》，该书数学味道更浓，证明比较严格

本文之所以要介绍这两种证明方法，是因为它们是旧时代数学和新时代数学的代表。

同济大学的《高等数学》第七版：

虽然之前我们对它的可读性有一些批评，但作为广为使用的教材，在严谨性和教学性上，还是必须承认它是不错的。

在同济大学的《高等数学》第七版中，该证明在第一章第六节，书上大概是这么写的，在单位圆上，设圆心角，作，容易知道：

画在图上就是：

从图中可以看出：

很显然，在时，上述面积关系一直存在：

因此，算出面积后，可推出目标不等式：

上述几何证明的理论基础来自于2000年前的《几何原本》以及后人对它的一些增补，可能你会觉得已经挺严格了，但在数学家眼里，满满都是缺陷，比如面积、弧长、弧度都没有明确定义：

上述说的数学家就是希尔伯特、布尔巴基等人，他们认为在《几何原本》已经千疮百孔，没有办法修补了，就在集合论基础上用公理的方法重新构造了整个现代数学，下面要介绍的《陶哲轩实分析》就是重新构造后的数学教科书。

大神陶哲轩：

写了一本《陶哲轩实分析》，这本书在豆瓣上面评分9.4。第一次看到的时候惊为天人，刷新了我对数学的认知。下面一起看看该书是怎么来证明的。

《陶哲轩实分析》总共19章，该证明所需要的信息在15章的最后才出现，那么前面到底写了些什么？当然就是把刚才数学家认为的“缺陷”给定义出来：

        （1）定义了实数。过程大概是这样的，首先通过皮亚诺公理定义了自然数，然后通过加减定义了整数，再然后通过乘除得到了有理数，最后通过柯西数列完成了对实数的定义：

        （2）定义了极限。顺便将无穷小、连续、各种中值定理给定义或者证明了。

        （3）定义了微积分。在极限的基础上，定义了导数、微分、积分等。

        （4）定义了什么是长度、什么是面积。这些定义在书中称为度量空间。比如，根据定义，、之间的距离为：

再通过定积分定义了面积和弧长：

        （5）定义了幂级数。

至此，完成了弧长、面积的定义，弧度在下面会给出定义。

前置准备完成后，书中通过幂级数定义了正弦函数、余弦函数（在这里，作者顺便定义了，就是使成立的最小正实数）：

对上述定义两侧求导，可得：

接着定义函数，通过链式法则求导可得：

因为导数为0，所以可知的值为常数。又容易算出，所以有：

上面这个式子说明，从而可得：

那剩下来只需证明的情况，在这个区间内，根据幂级数的性质容易得出（这里不再赘述，毕竟不是本文的重点）：

减去一个大于零的数，这说明：

最终得到了目标不等式（从上述证明看，实际上这个不等式在整个正实数范围都是成立的）：

几何中的定义是这样的，首先对直角三角形的各边进行命名：

得到正弦的定义为：

那么在《陶哲轩实分析》中定义的几何意义也一样吗？我们来看看，先构造参数方程：

根据之前得到的，结合距离的定义，上述参数方程描述的就是中心点在圆心的单位圆：

如果点坐标为，定义圆心角的角度为（弧度的定义也有了），作，容易知道以及：

那么有：

因此，这样定义的也具有同样的几何意义。

在初中介绍三角函数的时候。如果老师告诉你，正弦函数的定义如下，要这样都不弃学，我给你点个赞：

现代数学的公理化构造方式，搭建了牢不可破的数学大厦，但确实造成了理解上的障碍。所以，我们还是应该选择循序渐进的学习方式，从一些几何直观出发，逐步去拥抱数学。